Optimierte lokale Modelle in der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

Kapitel 3. Lokal polynomiale Modellierung Seite 41
Zusammenfassend kann man also sagen, dass das lokal konstante Modell für praktisch
alle Anwendungsfälle geeignet ist, besonders wenn es nicht auf sehr hohe Genauigkeit
ankommt und/oder man nur wenig Datenpunkte zur Verfügung hat. Es
eignet sich besonders gut, um einen groben Überblick zu erhalten, z.B. über die Dimensionalität
des Problems, den Rauschanteil und ob sich die Zeitreihe überhaupt
voraussagen lässt (es könnte ja auch ein rein stochastischer Prozess vorliegen). Hat
man diese Parameter grob eingestellt, kann im nächsten Schritt ein lokal lineares Modell
optimiert werden, welches häufig wesentlich genauere Ergebnisse liefern kann.
3.3 Parameter bei der lokalen Modellbildung
Im folgenden sollen die Parameter zur lokalen Modellbildung erläutert werden. Hierzu
gehören die Zahl der nächsten Nachbarn, die Metrik und die Wichtung (die Regularisierung
wird im nächsten Abschnitt behandelt werden). Diese Parameter sind
wesentlich für die Wahl der Umgebung des Anfragepunktes, in der das Modell berechnet
wird. Die korrekte Wahl dieser Parameter ist somit wesentlich für die Güte
des Modells.
3.3.1 Zahl nächster Nachbarn
Der Parameter k zur Anzahl nächster Nachbarn ist, wie bereits mehrfach erwähnt,
entscheidend für eine erfolgreiche Modellierung. Über ihn lassen sich Bias und Varianz
des endgültigen Modells steuern, sowie direkt damit verbunden der Grad der
Nichtlinearität des Modells. Dies soll an einem einfachen eindimensionalen Beispiel
kurz verdeutlicht werden.
Als Zeitreihe soll der Wechselkurs zwischen DM und US-Dollar von 1966 bis 2000
betrachtet werden. Es sei hiermit versprochen, dass dies die einzige Zeitreihe aus der
Ökonomie sein wird, die in dieser Arbeit Verwendung findet; auch sei vom populistischen
Versuch einer Vorhersage dieser Zeitreihe abgesehen. Sie soll ausschließlich
zur Illustration dienen.
In Abbildung 3.1(a) ist die lokal konstante Modellierung anhand eines nächsten
Nachbarn gezeigt. Man erhält eine Interpolation der Daten und somit ein Modell
mit maximaler Varianz und verschwindendem Bias. Die Abbildung 3.1(c) zeigt die
Modellierung mit der maximal möglichen Zahl nächster Nachbarn; es ergibt sich
somit ein globales Modell und als Ausgabe der Mittelwert der Zeitreihe. Dazwischen
liegt das Modell mit fünf nächsten Nachbarn, was ein Kompromiss zwischen Bias
und Varianz darstellt. Was bei der Modellierung noch störend auffällt ist, dass die
Modellausgabe unstetig ist. Dieses Problem soll im folgenden Abschnitt behandelt
werden.