Numerische Optimierung dreidimensional parametrisierter ...

Turbomaschinen oft nicht ausreichend zuverlässig. Der Ort der Transition wird deswegen in
neueren Verfahren29 mittels eines angepaßten Transitionskriteriums bestimmt.
Die zeitliche Diskretisierung der Gleichungen erfolgt entweder explizit oder implizit. Bei einer
expliziten Diskretisierung hängt der Lösungsvektor zum Zeitpunkt t + ∆t nur von Größen zum
Zeitpunkt t ab. Der numerische Zeitschritt darf dabei nur so groß sein, daß entsprechend der
CFL-Zahl die Stabilität30 der Lösung gewahrt bleibt. Bei einer impliziten Diskretisierung ist
der Lösungsvektor zum Zeitpunkt t + ∆t sowohl von Größen zum Zeitpunkt t, als auch von
Größen zum Zeitpunkt t + ∆t abhängig. Der dadurch erhöhte numerische Aufwand zu jedem
Zeitschritt wird sowohl durch eine erhebliche Verbesserung der Stabilität als auch durch eine
deutliche Reduzierung der Rechenschritte bis zur Konvergenz des Verfahrens überkompensiert.
Die räumliche Diskretisierung kann mit Hilfe der Methode der finiten Volumen, der Methode
der finiten Differenzen oder der Methode der finiten Elemente erfolgen. Die Lage der Flüsse
kann im Zentrum der Zellen oder an den Zellecken definiert sein. Bei der zellzentrierten
Methode liegen alle Größen im Zentrum einer Zelle vor. Zur Bestimmung der Flüsse werden
die Werte auf den Zellflächen verwendet. Der einfacheren Implementierung der Randbedingungen
gegenüber der knotenzentrierten Methode stehen steigende Fehler bei verzerrten Netzzellen
gegenüber. Bei der Definition auf den Zellecken liegen alle Erhaltungsgleichungen auf
den Netzknoten vor. Dafür muß jeweils ein neues Kontrollvolumen mit den Ecken in den Mittelpunkten
der benachbarten Netzzellen gebildet werden.
Zur Lösung des Systems aus Differentialgleichungen sind problemspezifische Randbedingungen
zur Vorgabe der konservativen Größen notwendig. Für instationäre Berechnungen müssen
außerdem die Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t = 0 definiert werden. Am Einströmrand
des Rechengebietes werden im Falle subsonischer Einströmung üblicherweise die vier Größen
Totaldruck pt1 , Totaltemperatur Tt1 , Winkel in radialer Richtung α1 und Winkel in Umfangsrichtung
β1 vorgegeben. Die Größen sind dabei in der Regel eine Funktion vom Radius r, gelegentlich
auch von der Umfangskoordinate ϕ. Am Ausströmrand des Rechengebietes erfolgt
die Vorgabe des statischen Drucks p2 . Der Austrittsdruck wird hierbei wie bei einer Windkanalanwendung
als konstant gesetzt, mittels des vereinfachten radialen Gleichgewichts
bestimmt oder als Profil in radialer Richtung vorgegeben. Bei transsonischer Zuströmung müssen
alle Größen am Eintrittsrand (zusätzlich statischer Druck p1 ) vorgegeben werden, da eine
stromaufwärtsgerichtete Informationsweiterleitung nicht möglich ist. An Wänden werden die
Neumannschen Randbedingungen vorgegeben: Die Flüsse von Impuls 31 , Masse und Energie
29. Der Transitionspunkt wurde früher und wird vielfach noch durch den Anwender auf einen Punkt festgelegt.
30. Anschaulich: Eine sich mit Schallgeschwindigkeit ausbreitende Lösung die Netzzelle nicht verläßt.
31. Der konvektive Impuls an der Wand muß verschwinden, der Reibungsimpuls an der Wand nicht.
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