Numerische Optimierung dreidimensional parametrisierter ...

Die Optimierung stellt mathematisch eine vieldimensionale Extremstellensuche (normalerweise
Minimum35 ) der skalaren Funktion F( x ) dar. Zusätzlich müssen dabei Ungleichheitsrestriktionen
gi( x)
≥ 0 und Gleichheitsrestriktionen hj( x)
= 0 eingehalten werden.
Ausgangspunkt der iterativen Parametersuche ist der Startvektor x0 . Auf Basis dieses Startvektors
oder mehrerer Startvektoren erfolgen Suchzyklen. Durch die jeweilige Bewertung der
Zielfunktion und der Einhaltung der Nebenbedingungen werden bessere Parametervektor(en),
als Ausgangspunkt für den nächsten Suchzyklus mit Hilfe einer zu wählenden Strategie
gesucht. Mathematisches Ziel der iterativen Suche über verschiedene xk ist dabei eine Konvergenz
der Funktion F( x ), zumindest in einem lokalen Optimum und die Beendigung des
Verfahrens durch ein Abbruchkriterium. Ein Zielfunktionsaufruf durch den Optimierungsalgorithmus
für einen Parametervektor xk
erfordert hier jeweils einen Ablauf der oben beschriebenen
Auslegungskette. Die Zahl der Zielfunktionsaufrufe, bis zu einer Verbesserung der
Zielfunktion (Minimierung), soll dabei aus Zeitgründen minimal gehalten werden. Die
Rechenzeit des Optimierungsalgorithmus selbst ist angesichts der benötigten Zeit der Strömungssimulation
nahezu vernachlässigbar.
5.1 Arten von Optimierungsalgorithmen
Die verschiedenen Optimierungsalgorithmen lassen sich nach Aufbau, Vorgehensweise und
mathematischem Aufbau einteilen. Die wichtigsten Charakteristiken stellen dabei die Art der
Suchstrategie, ob partielle Ableitungen der Zielfunktion gebildet werden, und die Behandlung
von Nebenbedingungen dar. Aufgrund der hier zu untersuchenden Zielfunktion kommen nur
nicht diskrete36 und nichtlineare Algorithmen in Betracht.
Stochastische Verfahren wählen neue Parameterzusammenstellungen für neue Suchzyklen
zufällig aus. Partielle Ableitungen der Ergebnisse werden nicht verwendet. Ein Vertreter der
zufälligen Suche stellt z. B. die Monte Carlo Methode dar. Die Ergebnisse vorangegangener
Suchschritte bleiben dabei unberücksichtigt. Daraus ergibt sich eine sehr langwierige Suche
nach dem Optimum. Herkömmliche genetische Algorithmen basieren darauf, die Variablen der
Optimierung in einen Binärcode zu überführen. Der maßgebliche Mechanismus besteht darin,
zwischen verschiedenen Mitgliedern einer Population Teile des Binärcodes kreuzweise auszutauschen.
Durch zufällige Änderung einzelner Elemente des Binärcodes (Gene) erfolgt dann
ein Mutationsvorgang. Anschließend beginnt eine Selektion der Population. Die Darstellung
vieler Variablen führt dabei intern zu einem langen Binärcode mit entsprechend vielen internen
Optimierungsvariablen. Bei den sich an der Natur orientierenden Evolutionsstrategien werden
neue Parametervektoren auf der Basis bestehender Parametersätze ebenfalls mittels Rekombi-
x x
35. Die Extremstellensuche ist durch die Beziehung max[F(
bar.
)] = - min[F( )] auf den jeweiligen Typ umform-
36. Nicht diskrete Optimierungsalgorithmen behandeln nur nicht ganzzahlige Variablen.
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