Numerische Optimierung dreidimensional parametrisierter ...

der Straffunktionen. Diese deterministischen Verfahren mit der Modellvorstellung einer glatten
quadratisch approximierbaren Zielfunktion haben sich bei der Optimumsuche auf glatten Zielfunktionen
als sehr effizient erwiesen. Typische Vertreter dieser SQP-Verfahren sind z. B. die
Algorithmen NLPQL (siehe Schittkowski 1985 [62]) oder DONLP. Weitergehende mathematische
Details nichtlinearer deterministischer Methoden und Quellenangaben sind in Spellucci
1993 [68] ausführlich erklärt.
Dennis et al. 1999 [12] kombinierten einen genetischen Algorithmus mit einem SQP-Verfahren.
Durch die effizientere Behandlung der Nebenbedingungen konnten Zielfunktionsaufrufe
im nicht sinnvollen Lösungsbereich reduziert werden. Sie stellen Ergebnisse für zweidimensionale
aerodynamische Optimierungen mit einem Navier-Stokes-Löser auf unstrukturierten
Netzen vor.
Eine weitere Möglichkeit zur Behandlung von Restriktionen entsteht, wenn die Dimension des
Optimierungsproblems durch jede Gleichheitsrestriktion um Eins reduziert wird. Ungleichheitsrestriktionen
werden nur im Grenzfall aktiviert.
Besonders im Turbomaschinenbau ist die Einhaltung vieler Nebenbedingungen Grundvoraussetzung
sinnvoller Auslegungen. Der Formulierung der Nebenbedingungen kommt deswegen
eine besondere Bedeutung zu. Die mathematische Definition von Nebenbedingungen erfolgt
für alle oben genannten Restriktionsarten üblicherweise nach folgenden Formeln
gi( x)
gi( x)
Der einzelne Straffunktionsterm Gewicht × ( – gi( x)
) wird für gi( x)
<
0 aktiviert.
Durch eine geeignete Wahl des Gewichtungsfaktors und des Exponenten wird ein starker
Anstieg des Straffunktionsterms bei einem Verlassen des zulässigen Bereichs bewirkt. Durch
eine Sensitivitätsstudie muß eine geeignete Gewichtung der Straffunktion und der Zielfunktion
zueinander gefunden werden. Ein Problem bei Straffunktionen stellen Mehrfachverletzungen
von Restriktionen dar. Bei starken Mehrfachverletzungen kommt es zu einem dominierenden
Effekt der Straffunktion auf die Zielfunktion. Werden die einzelnen oder gruppenweise sortierten
Straffunktionsterme kleiner skaliert, können einzelne Restriktionsverletzungen andererseits
„verloren gehen“. Diesem Problem kann eventuell mit einer Hüllkurven-Methode, unter der
die Nebenbedingungsverletzungen zusammengefaßt werden, bei der Gewichtung der Straffunktion
entgegengewirkt werden.
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RB( x)
– RBLimit = ----------------------------------------- für untere Limits
RB Limit
RBLimit – RB( x)
= ----------------------------------------- für obere Limits.
RB Limit
exponent