r - The Hong Kong Polytechnic University

和 Yang [11] 基 于 Yang 提 出 的 瞬 时 最 优 控 制 方 法 , 结 合 Newmark-β 法 , 给 出 了 一 种 新 的 控 制 方 法 , 该
方 法 避 免 了 复 杂 Riccati 方 程 的 求 解 , 通 过 在 每 个 时 间 步 内 更 新 结 构 刚 度 或 阻 尼 矩 阵 , 可 实 现 非 线 性
结 构 的 主 动 最 优 控 制 。
各 国 学 者 在 大 跨 空 间 结 构 的 风 振 控 制 方 面 做 了 很 多 研 究 工 作 [12][13] , 但 针 对 索 杆 张 力 结 构 的 风 振
控 制 研 究 目 前 还 不 多 见 。 本 文 基 于 可 考 虑 结 构 几 何 非 线 性 的 瞬 时 最 优 控 制 理 论 , 考 虑 风 与 结 构 的 相
互 作 用 , 得 到 了 索 杆 张 力 结 构 的 风 振 主 动 控 制 方 程 , 并 采 用 一 Levy 型 索 穹 顶 算 例 进 行 主 动 控 制 效
果 分 析 。
二 、 基 于 瞬 时 最 优 的 风 振 主 动 控 制 理 论
具 有 n 个 自 由 度 的 结 构 在 干 扰 P 及 控 制 力 U 作 用 下 ,t 时 刻 的 主 动 控 制 方 程 可 表 示 为
Mx &&
t
+ Cx&
t
+ Kxt = DPt + BU
t
. (1)
式 中 , M、 C、
K —n×n 阶 的 质 量 、 阻 尼 、 刚 度 矩 阵 ;x 为 结 构 的 n 维 位 移 向 量 ;P 为 r 维 外 荷 载
向 量 ,D 为 n×r 阶 干 扰 位 置 矩 阵 ;U 为 p 维 控 制 力 向 量 , 相 应 的 位 置 矩 阵 为 n×p 阶 阵 B。 考 虑 结 构
几 何 非 线 性 时 , 刚 度 K 也 是 时 间 的 函 数 K t , 将 K t x t 写 成 F t 的 形 式 , 则 (1) 可 写 为 :
Mx &&
t
+ Cx&
t
+ Ft = DPt + BU
t. (2)
其 中 , 系 统 的 位 移 和 速 度 都 是 独 立 变 量 。
结 构 风 振 控 制 的 目 的 是 使 结 构 风 振 反 应 尽 量 最 小 , 同 时 又 使 控 制 力 不 至 于 过 大 , 为 此 取 系 统 的
性 能 泛 函 为 :
T T T
J
t
= xQx
t 1 t
+ xQx & &
t 2 t
+ Ut RU
t
. (3)
式 中 ,Q 1 、Q 2 和 R 均 为 权 矩 阵 ,Q 1 、Q 2 为 n×n 阶 半 正 定 矩 阵 ,R 为 p×p 阶 正 定 矩 阵 。
引 入 Newmark 法 的 基 本 假 定 :
xt = xt−Δ
t
+Δx . (4)
x& t
= (1 −a5)
x& t−Δt − a &&
6xt−Δt
+ a4Δx. (5)
&& xt = (1 −a3)
&& xt−Δt − a2x&
t−Δt
+ a1Δx . (6)
式 中 ,
1 1 1 α α α
a1 = ; a
2 2
= ; a3 = ; a4 = ; a5 = ; a6
=Δt( −1)
.
β( Δt) βΔt 2β βΔt
β 2β
α 、 β 为 Newmark 法 的 参 数 , 一 般 取 α ≥ 0.5 , β ≥ 0.25 ( 0.5+ α), 本 文 中 取 α= 0.5 , β= 0.25 ,
即 Newmark 法 退 化 为 平 均 加 速 度 法 , 是 目 前 广 泛 应 用 的 逐 步 积 分 法 。
上 述 系 统 的 最 优 控 制 问 题 可 看 作 在 Newmark 法 基 本 假 定 为 约 束 条 件 下 , 求 性 能 泛 函 极 小
值 。 引 入 Lagrange 乘 子 法 , 得 Hamilton 函 数 :
1 T T T T T
Ht = ( xQx
t 1 t
+ xQx & &
t 2 t
+ Ut RUt) + λ1 ( xt −xt−Δt −Δ x)
+ λ2 ( x& t
−(1 − a5) x& t−Δt + a6x&&
t−Δt
−a4Δx)
2
. (7)
T
+ λ3 (&& xt −(1 − a3) x&& t−Δt + a &
2xt−Δt
−a1Δx)
为 了 消 除 Δx, 将 F t 线 性 化 表 示 为 如 下 形 式 [14] :
Ft = KT( t−Δt)
Δ x+
F
t−Δt. (8)
此 处 ,K T 表 示 切 线 刚 度 矩 阵 , 将 (4)~(6)、(8) 代 入 (2) 式 , 可 得 :
−1
Δ x = K ( DP + BU + M( a x& + ( a − 1) x&& ) + C(( a − 1) x& + a && x ) + F ). (9)
t t t 2 t−Δt 3 t−Δt 5 t−Δt 6 t−Δt t−Δt
其 中 , Kt = a1M + a4 C + K
T( t−Δt)
。
为 使 性 能 泛 函 (7) 式 取 极 小 值 , 有 :
∂H t
∂H t
∂H t
∂H
t
= = = = 0 . (10)
T T T T
∂xt ∂x&
t
∂&&
xt ∂Ut
将 (9) 代 入 (10), 得
Qx + = 0
1 t
λ
1
. (11)
Q x & + λ = 0 . (12)
2 t 2
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