texto: metodos numericos para ecuaciones diferenciales ordinarias

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1 − 0 Para h = 0.05 tenemos n = = 20. Se digitó >>euler(20, 0, 1, 0.05) 0.05 1 − 0 Para h = 0.01 tenemos n = = 100. Se digitó >>euler(10, 0, 1, 0.01) 0.01 Se obtuvo los siguientes valores xn yn h=0.1 h=0.05 h=0.01 0.0 2.000000000000000 2.000000000000000 2.000000000000000 0.1 2.000000000000000 2.002500000000000 2.004382075008805 0.2 2.010000000000000 2.014506250000000 2.017906937597231 0.3 2.029000000000000 2.035091890625000 2.039700373388280 0.4 2.056100000000000 2.063420431289063 2.068971758569680 0.5 2.090490000000000 2.098736939238379 2.105006067137536 0.6 2.131441000000000 2.140360087662637 2.147156642390761 0.7 2.178296900000000 2.187674979115530 2.194838659600207 0.8 2.230467210000001 2.240126668651766 2.247523213763810 0.9 2.287420489000001 2.297214318458219 2.304731972678324 1.0 2.348678440100001 2.358485922408543 2.366032341273229 donde y(1) ≈ 2.348678440100001 para h=0.1, y(1) ≈ 2.358485922408543 para h=0.05 e y(1) ≈ 2.366032341273229 para h=0.01. Utilizando la solución analítica de la ecuación diferencial tenemos los siguientes valores: xn y = e −x + x + 1 0.0 2.000000000000000 0.1 2.004837418035960 0.2 2.018730753077982 0.3 2.040818220681718 0.4 2.070320046035640 0.5 2.106530659712633 0.6 2.148811636094027 0.7 2.196585303791410 0.8 2.249328964117222 0.9 2.306569659740599 1.0 2.367879441171442 donde y(1) = 2.367879441171442 Notemos que cuando se reduce el tamaño de paso h se obtiene una mejor aproximación, 4
se reduce el error que se comete. 2.4 2.35 2.3 2.25 2.2 2.15 2.1 2.05 Ejemplo 2 solución exacta h=0.1 h=0.05 h=0.01 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Figura 1.2: Gráfica para distintos tamaños de h, por el método de Euler Un paracaidista de masa M kg salta desde un avión en t = 0. Consideremos que la velocidad vertical inicial del paracaidista es cero en t = 0 y que la caída es vertical. Si el arrastre aerodinámico está dado por Faire = cv 2 , donde c es una constante y v es la velocidad vertical(positiva hacia abajo), asuma M = 70kg, c = 0.27kg/m y h = 0.1. Halle la velocidad del paracaidista para t ≤ 20s Solución Por la primera ley de Newton, el equilibrio de fuerzas satisface M dv(t) dt = −Faire + gM (1.5) donde v es la velocidad del paracaidista en m/s(positiva hacia abajo) y g es la aceleración debida a la gravedad, 9.8m/s 2 . La ecuación (1.5) puede escribirse como: 5
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