texto: metodos numericos para ecuaciones diferenciales ordinarias

c = h
2 f(x,y)
En consecuencia
donde
R1(x + h
2
T (2)
(x,y) = f x + h h
,y +
2 2 f(x,y)
h h2
,y + f(x,y)) =
2 8
− R1
x + h h
,y +
2 2 f(x,y)
∂2f h2
∂x2(ǫ,µ) +
4 f(x,y) ∂2f h2
(ǫ,µ) +
∂x∂y
8 (f(x,y))2 ∂2f (ǫ,µ)
∂y2 El método que resulta de sustituir T (2) (x,y) por f x + h h ,y + 2 2f(x,y) en el método de
Taylor de orden dos es un método específico de Runge-Kutta, conocido con el nombre de
Método del Punto medio
3.1. Método del punto medio
yn+1 = yn + hf(xn + h
2 ,yn + h
2 f(xn,yn)) (3.3)
n = 0, 1, 2,... (3.4)
Solo tres parámetros se encuentran en af(x+b,y+c) y los tres se requieren en la igualdad
con T (2) ,necesitamos una forma mas compleja para cumplir las condiciones que requiere
cualquiera de los métodos de Taylor de orden superior.
La forma más apropiada de cuatro parámetros con que se aproxima
es
T (3) (x,y) = f(x,y) + h
2 f ′ (x,y) + h2
6 f ′′ (x,y)
af(x,y) + bf(x + c,y + df(x,y)) (3.5)
y ni siquiera con esto se tiene la suficiente flexibilidad para igualar el término
h 2
6
resultante de la expansión de h2
6 f ′′ (x,y)
∂f
∂y (x,y)
2
f(x,y)
Por lo tanto, lo mejor que podemos lograr utilizando son métodos con el error local
de truncamiento O(h 2 ), sin embargo el hecho que tenga cuatro parámetros, da cierta
flexibilidad en su elección para derivar varios métodos O(h 2 ). Uno de los más importantes
es el método modificado de Euler, que corresponde a seleccionar a = b = 1
2
y se representa de la siguiente forma.
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y c = d = h