texto: metodos numericos para ecuaciones diferenciales ordinarias

Capítulo 3
Métodos de Runge-Kutta
En la sección anterior vimos los métodos de Taylor que tienen un error de truncamiento
de orden alto, pero tienen la desventaja de requerir el cálculo y evaluación de las derivadas
de f(x,y), este es un procedimiento lento y complicado motivo por el cual rara vez se
emplean. Los métodos de Runge 1 Kutta 2 tienen error de truncamiento alto, pero permiten
prescindir del cálculo y evaluación de las derivadas.
El primer paso para derivar el Método de Runge-Kutta ([BUR 02]), es determinar los
valores a,b y c con la propiedad de que af(x + b,y + c) aproxima a (2.6) para p = 2
T (2) (x,y) = f(x,y) + h
2 f ′ (x,y)
T (2) (x,y) = f(x,y) + h
2
∂f
∂x
(x,y) + h
2
∂f
(x,y).f(x,y) (3.1)
∂y
Al desarrollar f(x + b,y + c) en su polinomio de Taylor grado uno alrededor de (x,y) se
obtiene
af(x + b,y + c) = af(x,y) + ab ∂f
(x,y) + ac∂f
∂x ∂y (x,y).f(x,y) + aR1(x + b,y + c) (3.2)
donde
R1(x + b,y + c) = b2 ∂
2
2f ∂x2(ǫ,µ) + bc ∂2f c2
(ǫ,µ) +
∂x∂y 2
para ǫ entre x y x + b, µ entre y y y + c
∂2f (ǫ,µ)
∂y2 Al igualar los coeficientes de las ecuaciones (3.1) y (3.2) obtenemos a = 1 b = h
2 y
1 Carle David Tolmé Runge(30 de agosto de 1856-3 de enero de 1927) fue un matemático, físico y
espectroscopista alemán
2 Martin Wilhelm Kutta (3 de noviembre de 1867 - 25 de diciembre de 1944) fue un físico y matemático
alemán.
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