texto: metodos numericos para ecuaciones diferenciales ordinarias

Ejemplo
1. Sea la ecuación diferencial y ′ = xe 3x − 2y,y(0) = 0, cuya solución general es
y(x) = 1
5 xe3t − 1
25 e3t + 1
25 e−2t , usando el método de Runge-Kutta con h = 0.1,
aproximar y(1)
Solución
Utilizando el método de Runge-kutta se consigue los siguientes valores
Método
Valor exacto Runge-Kutta Error
xn y(xn) yn |y(xn) − yn|
0.0 0 0 0
1.0e-003 *
0.1 0.005752053971599 0.005754631311524 0.002577339924445
0.2 0.026812801841426 0.026818770596771 0.005968755345566
0.3 0.071144527666900 0.071155164515354 0.010636848453718
0.4 0.150777835474151 0.150795060680180 0.017225206029203
0.5 0.283616521867142 0.283643159044116 0.026637176974542
0.6 0.496019565629524 0.496059711486905 0.040145857380935
0.7 0.826480869814429 0.826540417642342 0.059547827913398
0.8 1.330857026396779 1.330944404473756 0.087378076976341
0.9 2.089774397011061 2.089901607341672 0.127210330611138
1.0 3.219099319039492 3.219283395463391 0.184076423899171
observamos que y(1) ≈ 3.219283395463391.
2. Sea la ecuacion diferencial y ′ = −y+x+2 con la condicion inicial y(0) = 2, usando
el método de Runge-Kutta de cuarto orden con h = 0.1, h = 0.05 y h = 0.01,
aproximar y(1).
Solución
Si usamos el método de Runge-Kutta, observemos que al reducir h se reduce el
error que se comete.
Aproximación Solución exacta Error
h a y(1) y(1) |y(1)-Aprox|
0.1 2.367879774412498 2.367879441171442 3.332410560830112e-007
0.05 2.367879461147540 2.367879441171442 1.997609810899803e-008
0.01 2.367879441202356 2.367879441171442 3.091393807608256e-011
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