texto: metodos numericos para ecuaciones diferenciales ordinarias

las aproximaciones wi+1 y ¯wi+1 a y(xi+1).Entonces
De manera similar
En consecuencia
τi+1(h) = y(xi+1) − y(xi)
h
− φ(xi,y(xi),h)
= y(xi+1) − wi
− φ(xi,wi,h)
h
= y(xi+1) − [wi + hφ(xi,wi,h)]
h
= 1
h (y(xi+1) − wi+1)
¯τi+1(h) = 1
h (y(xi+1) − ¯wi+1)
τi+1(h) = 1
h (y(xi+1) − wi+1)
= 1
h [(y(xi+1) − ¯wi+1) + ( ¯wi+1 − wi+1)]
= ¯τi+1(h) + 1
h ( ¯wi+1 − wi+1)
donde τi+1(h) es O(h n ) y ¯τi+1 es O(h n+1 ), por lo tanto la parte significativa proviene de
1
h ( ¯wi+1 − wi+1)
Esto nos da una aproximación del error local de truncamiento del método O(h n ):
τi+1(h) ≈ 1
h ( ¯wi+1 − wi+1)
El objetivo no es solo estimar el error local del truncamiento, sino ajustar además el
tamaño de paso para mantenerlo dentro de una cota especificada. Para hacerlo, ahora se
supone que como τi+1 es O(h n ), existe un número K independiente de h
τi+1(h) ≈ Kh n
Podemos estimar el error local de truncamiento producido al aplicar el método de n-ésimo
orden con un nuevo tamaño de paso qh, usando las aproximaciones originales wi+1 y ¯wi+1
τi+1(qh) ≈ K(qh) n = q n (Kh n ) ≈ q n τi+1(h) ≈ qn
h ( ¯wi+1 − wi+1)
Para establecer la cota de τi+1(qh) por ǫ, escogemos q tal que
q n
h | ¯wi+1 − wi+1| ≈ |τi+1(qh)| ≤ ǫ
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