texto: metodos numericos para ecuaciones diferenciales ordinarias

Capítulo 2
Métodos de Taylor de orden superior
Sea el problema de valor inicial
y ′ = f(x,y) y(x0) = y0 (2.1)
supongamos que tiene solución única φ(x) en un algún intervalo con centro en x0. Sea
h > 0 y consideremos puntos igualmente espaciados
xn = x0 + nh n = 0, 1, 2,...
Consideremos que la solución φ(x) tiene n + 1 derivadas continuas. Si se desarrolla la
solución φ(x) en función del enesimo polinomio de Taylor alrededor de xn y calculamos
en xn+1 obtendremos
φ(xn+1) = φ(xn) + hφ ′ (xn) + h2
2 φ′′ (xn) + · · · hn
n! φ(n) (xn) + hn+1
(n + 1)! φ(n+1) (ǫn)
para algún ǫn ∈< xn,xn+1 >
La derivada sucesiva de la solución φ(x) nos da
En general
φ ′ (x) = f(x,φ(x))
φ ′′ (x) = f ′ (x,φ(x))
φ (k) (x) = f (k−1) (x,φ(x))
Al sustituir este resultado en la ecuación , tenemos
φ(xn+1) = φ(xn) + hf(xn,φ(xn)) + h2
2 f ′ (xn,φ(xn))
+ · · · hn
n! f(n−1) (xn,φ(xn)) + hn+1
(n + 1)! f(n) (ǫn,φ(ǫn)) (2.2)
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