texto: metodos numericos para ecuaciones diferenciales ordinarias

la variable y en un conjunto D ⊂ R 2 si existe una constante L > 0 con la propiedad
|f(t,y1) − f(t,y2)| ≤ L|y1 − y2|
∀(t,y1), (t,y2) ∈ D. A la constante L se le llama constante de Lipschitz para f
Ejemplo
Si D = {(t,y)/ − 1 ≤ t ≤ 10, −6 ≤ y ≤ 20} y f(t,y) = ycos(t) entonces para cada par de
puntos (t,y1), (t,y2) ∈ D tenemos
|f(t,y1) − f(t,y2)| = |y1cos(t) − y2cos(t)| ≤ |y1 − y2|
donde L = 1, se dice que f satisface la condicion de Lipschitz en D en la variable y con
la constante 1 de Lipschitz
Teorema 1.1. Sea f(t,y) está definida en un conjunto convexo D ⊂ R 2 . Si existe una
constante L > 0 con
∂f
∂y (t,y)
≤ L, ∀(t,y) ∈ D
entonces f satisface la condición de Lipschitz en D en la variable y con la constante L
de Lipschitz
Ejemplo
La función f(t,y) = ycos(t) satisface
∂f
∂y
(t,y)
= |cos(t)| ≤ 1 ∀(t,y) ∈ D = {(t,y)/ − 1 ≤ t ≤ 10, −6 ≤ y ≤ 20}
observemos que L = 1
Teorema 1.2. Sea f continua y satisface la condición de Lipschitz con la constante L
en
D = {(t,y)/a ≤ t ≤ b, −∞ < y < ∞}
y que existe una constante M con la propiedad de que |y ′′ (t)| ≤ M ∀t ∈ [a,b]
Si y(t) es la solución única del problema de valor inicial
y ′ = f(t,y), a ≤ t ≤ b, y(a) = α
y sean y0,y1,...,yn las aproximaciones generadas con el método de Euler para algún
entero positivo N, entonces
|y(ti) − yi| ≤ hM
2L [eL(ti−a) − 1] ∀i = 0, 1, 2,...,N
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