texto: metodos numericos para ecuaciones diferenciales ordinarias

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ǫh q ≤ | ¯wi+1 − wi+1| Un método que usa esta desigualdad para controlar el error es el método de Runge- Kutta-Fehlberg.Este consiste en emplear el método de Runge-Kutta con error local de truncamiento de quinto orden 1/n ¯wi+1 = wi + 16 135 k1 + 6656 12825 k3 + 28561 56430 k4 − 9 50 k5 + 2 55 k6 para estimar el error local en un método de Runge-Kutta de cuarto orden dado por donde wi+1 = wi + 25 216 k1 + 1408 2565 k3 + 2197 4104 k4 − 1 5 k5 k1 = hf(xi,wi) k2 = hf(xi + h 4 ,wi + 1 4 k1) k3 = hf(xi + 3 8 h,wi + 3 32 k1 + 9 32 k2) k4 = hf(xi + 12 13 h,wi + 1932 2197 k1 − 7200 2197 k2 + 7296 2197 k3) k5 = hf(xi + h,wi + 439 216 k1 − 8k2 + 3680 513 k3 − 845 4104 k4) k6 = hf(xi + 1 2 h,wi − 8 27 k1 + 2k2 − 3544 2565 k3 + 1859 4104 k4 − 11 40 k5) La ventaja de este método se da en que solo se requiere seis evaluaciones de f por paso. Los métodos arbitrarios de Runge Kutta de cuarto y quinto orden usados de manera conjunta requieren cuatro y seis evaluaciones de f, respectivamente, lo cual da diez evaluaciones de f. En el control del error, un valor inicial de h en el i-ésimo paso se usó para obtener los primeros valores de wi+1 y wi+1, que nos permitieron determinar q en ese paso y luego se repitieron los cálculos. Este procedimiento requiere el doble de evaluaciones de funciones por paso, sin control de error. En la práctica, el valor de q a usar se selecciona de manera un poco diferente, a fin de que valga la pena el aumento de evaluaciones de funciones. El valor de q determinado en el i-ésimo paso cumple dos propósitos: 1. Para rechazar, de ser necesario, la eleccion inicial de h en el paso i-esimo y repetir los cálculos por medio de qh, y 2. Para predecir una elección adecuada de h para el (i+1)-ésimo paso. 52
si se repiten los pasos, q se elige de manera conservadora, en el método de Runge- Kutta-Fehlberg con n=4, la eleccion común es ǫh q = 2 |wi+1 − wi| 1/4 ǫh = 0.84 |wi+1 − wi| En el algoritmo para el método de Runge-Kutta-Fehlberg, se agrega el paso 9 para suprimir grandes modificaciones al tamaño del paso. Esto se hace para no tener que dedicar mucho tiempo a los tamaños pequeños de paso en las irregularidades de las derivadas de y, y para evitar los grandes tamaños de paso, que pueden llevar a omitir las regiones sensibles entre los pasos. En algunos casos, en el algoritmo se omite totalmente el procedimiento que aumenta el tamaño del paso, y el procedimiento con que se disminuye el tamaño se modifica para que se incorpore sólo cuando es necesario controlar el el error 4.1. Algoritmo del Método de Runge-Kutta- Fehlberg Aproxima la solución del problema de valor inicial 1/4 y ′ = f(x,y) a ≤ x ≤ b y(a) = α (4.1) con un error local de truncamiento que no rebase la tolerancia especificada: 1. Entrada: a y b son los valores extremos del intervalo; α es la condición inicial; tolerancia TOL; tamaño máximo de paso hmax; tamaño mímino de paso hmin. 2. Hacer x = a w = α h = hmax BD = 1 SALIDA (x,w) 3. Mientras (BD = 1) hacer 53
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