texto: metodos numericos para ecuaciones diferenciales ordinarias

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Si comparamos con el método de Euler xi Euler h=0.1 euler h=0.025 Runge kutta solución exacta 4to orden 0 2.000000000000000 2.000000000000000 2.0000000000000000 2.0000000000000000 0.1 2.000000000000000 2.003687890625000 2.0048374999999998 2.0048374180359598 0.2 2.010000000000000 2.016651803662262 2.0187309014062498 2.0187307530779819 0.3 2.029000000000000 2.037998345826651 2.0408184220011774 2.0408182206817180 0.4 2.056100000000000 2.066920168424825 2.0703202889174905 2.0703200460356395 0.5 2.090490000000000 2.102687680219100 2.1065309344233798 2.1065306597126332 0.6 2.131441000000000 2.144641558442873 2.1488119343763148 2.1488116360940266 0.7 2.178296900000000 2.192185981095952 2.1965856186712287 2.1965853037914096 0.8 2.230467210000001 2.244782511051797 2.2493292897344279 2.2493289641172218 0.9 2.287420489000001 2.301944569199290 2.3065699912000754 2.3065696597405991 1.0 2.348678440100001 2.363232439887880 2.3678797744124984 2.3678794411714423 De aqui se observa la superioridad del método de Runge Kutta de cuarto orden, pues con h = 0.025 método de Euler necesita hacer 40 iteraciones para llegar y(1) ≈ 2.363232439887880, mientras que método de Runge Kutta solo 10 iteraciones con h = 0.1 para llegar y(1) ≈ 2.3678797744124984 3.5. Método de Runge-Kutta de Cuarto Orden para Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias Sea el sistema de m ecuaciones diferenciales du1 dx = f1(x,u1,u2,...,um) du2 dx = f2(x,u1,u2,...,um) (3.9) dum dx para a ≤ x ≤ b con las condiciones iniciales . = fm(x,u1,u2,...,um) u1(a) = α1, u2(a) = α2, ...,um(a) = αm (3.10) El objetivo es hallar m funciones u1, u2, ...,um que satisfagan el sistema de ecuaciones diferenciales y las condiciones iniciales. El problema de valor inicial y ′ = f(x,y), y(a) = y0, a ≤ x ≤ b (3.11) 26
se resuelve utilizando el método de Runge-Kutta donde yn+1 = yn + 1 6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) (3.12) k1 = hf(xn,yn) k2 = hf(xn + 1 2 h,yn + 1 2 k1) k3 = hf(xn + 1 2 h,yn + 1 2 k2) k4 = hf(xn + h,yn + k3) Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales se generaliza como sigue, formamos una partición regular en el intervalo [a,b] con N subintervalos, con puntos xn = a + nh b − a donde n = 0, 1,...,N y h = N Usamos la notación yij para denotar una aproximación a ui(xj) para j = 0, 1, ...,N y para i = 1, 2, ...,m. Las condiciones iniciales (3.10) se expresan como y1,0(a) = α1, y2,0(a) = α2, ...,ym,0(a) = αm Suponga que se calcularon y1,j, y2,j, ...,ym,j, enseguida obtenemos y1,j+1, y2,j+1, ...,ym,j+1 de Para cada i = 1, 2,...,m donde Para cada i = 1, 2,...,m Para cada i = 1, 2,...,m yi,j+1 = yi,j + 1 6 (k1,j + k2,j + k3,j + k4,j) k1,j = hfi(xj,y1,j,y2,j,...,ym,j) k2,j = hfi(xj + 1 2 h,y1,j + 1 2 k1,1,y2,j + 1 2 k1,2,...,ym,j + 1 2 k1,m) 27
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