texto: metodos numericos para ecuaciones diferenciales ordinarias

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9. Halle y(1) para la siguiente ecuación empleando el método de Taylor de orden dos con h = 0.5: y ′ = − y x + y 2 10. Un sistema de resorte tiene una resistencia al movimiento proporcional al cuadrado de la velocidad, y su movimiento está descrito por d2x + 0.1 dt2 2 dx + 0.6x = 0 dt Si el resorte se suelta desde un punto que está a una unidad de distancia por arriba de su punto de equilibrio,x(0), x ′ (0) = 0. Determine x(2) empleando el método de Taylor de orden tres con h = 0.1 20
Capítulo 3 Métodos de Runge-Kutta En la sección anterior vimos los métodos de Taylor que tienen un error de truncamiento de orden alto, pero tienen la desventaja de requerir el cálculo y evaluación de las derivadas de f(x,y), este es un procedimiento lento y complicado motivo por el cual rara vez se emplean. Los métodos de Runge 1 Kutta 2 tienen error de truncamiento alto, pero permiten prescindir del cálculo y evaluación de las derivadas. El primer paso para derivar el Método de Runge-Kutta ([BUR 02]), es determinar los valores a,b y c con la propiedad de que af(x + b,y + c) aproxima a (2.6) para p = 2 T (2) (x,y) = f(x,y) + h 2 f ′ (x,y) T (2) (x,y) = f(x,y) + h 2 ∂f ∂x (x,y) + h 2 ∂f (x,y).f(x,y) (3.1) ∂y Al desarrollar f(x + b,y + c) en su polinomio de Taylor grado uno alrededor de (x,y) se obtiene af(x + b,y + c) = af(x,y) + ab ∂f (x,y) + ac∂f ∂x ∂y (x,y).f(x,y) + aR1(x + b,y + c) (3.2) donde R1(x + b,y + c) = b2 ∂ 2 2f ∂x2(ǫ,µ) + bc ∂2f c2 (ǫ,µ) + ∂x∂y 2 para ǫ entre x y x + b, µ entre y y y + c ∂2f (ǫ,µ) ∂y2 Al igualar los coeficientes de las ecuaciones (3.1) y (3.2) obtenemos a = 1 b = h 2 y 1 Carle David Tolmé Runge(30 de agosto de 1856-3 de enero de 1927) fue un matemático, físico y espectroscopista alemán 2 Martin Wilhelm Kutta (3 de noviembre de 1867 - 25 de diciembre de 1944) fue un físico y matemático alemán. 21
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