texto: metodos numericos para ecuaciones diferenciales ordinarias

La entrada al algoritmo es la tolerancia TOL = 10 −6 , un tamaño máximo de paso
hmax = 0.5 y un tamaño mínimo de paso hmin = 0.02
>>rungkufeh2
xi yi=y(xi) wi hi |yi-wi| wii |yi-wii|
1.000 1.000 1.000 0.000
1.1101946 1.0051237 1.0051237 0.1101946 5.0083437e-008 1.0051237 7.3572313e-009
1.2191314 1.0175211 1.0175212 0.1089368 6.3878024e-008 1.0175212 4.2901327e-008
1.3572694 1.0396749 1.0396749 0.1381381 8.0686697e-008 1.0396749 5.1900760e-008
1.5290112 1.0732756 1.0732757 0.1717417 9.6474346e-008 1.0732756 6.3566870e-008
1.7470584 1.1213947 1.1213948 0.2180472 1.1067125e-007 1.1213948 7.1637317e-008
2.0286416 1.1881700 1.1881702 0.2815832 1.2109483e-007 1.1881701 7.4469349e-008
2.3994350 1.2795395 1.2795396 0.3707934 1.2387333e-007 1.2795395 6.7626636e-008
2.8985147 1.4041842 1.4041843 0.4990798 1.1211799e-007 1.4041842 4.4005706e-008
3.3985147 1.5285638 1.5285639 0.5000000 1.1162287e-007 1.5285639 9.1614480e-008
3.8985147 1.6514962 1.6514963 0.5000000 1.1352301e-007 1.6514963 1.0649609e-007
4.0000000 1.6762391 1.6762393 0.1014853 1.1398408e-007 1.6762393 1.1398268e-007
Las dos últimas columnas de la tabla contienen los resultados del método de quinto
orden. Con valores pequeños de xi, el error es menor que el de cuarto orden, pero es
mayor cuando xi aumenta.
4.3. Problemas propuestos
1. Aplique el algoritmo de Runge-Kutta-Fehlberg con la tolerancia TOL = 10 −4 para
aproximar la solución de los siguientes problemas de valor inicial.
a) y ′ = 1
x (y2 + y), 1 ≤ x ≤ 3, ,y(1) = −2, hmax = 0.5 y hmin = 0.02
b) y ′ = sinx + e −x , 0 ≤ x ≤ 1, ,y(0) = 0, hmax = 0.25, y hmin = 0.02
c) y ′ = x 2 , 0 ≤ x ≤ 2, ,y(0) = 0, hmax = 0.5 y hmin = 0.02
2. Use el método de Runge-Kutta-Fehlberg con la tolerancia TOL = 10 −6
hmax = 0.5, hmin = 0.05 para aproximar la solución de los siguientes problemas
de valor inicial. Después compare los resultados con los valores reales.
a) y ′ = 1 + 1
x + y 2
, 1 ≤ x ≤ 3, y(1) = 0, solución real y(x) = x tan(lnx)
x
b) y ′ = (x + 2x3 )y3 − xy, 0 ≤ x ≤ 2, y(0) = 1,
3 solución real
y(x) = (3 + 2x2 + 6et2) −1/2
c) y ′ = −(y + 1)(y + 3), 0 ≤ x ≤ 3, y(0) = −2 solución real
y(x) = −3 + 2(1 + e −2t ) −1
57