texto: metodos numericos para ecuaciones diferenciales ordinarias

2.1. Algoritmo de Taylor de orden n
Este algoritmo calcula la solución del problema de valor inicial (1.1) en puntos
equidistantes x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, x3 = x0 + 3h, · · · ,xN = x0 + Nh, aquí f es
tal que (1.1) tiene una solución única en [x0,xN].
1. Entrada: Valores iniciales x0, y0, tamaño de paso h y número de pasos N
2. Para n=0,...,N-1, hacer
3. Parar
Ejemplos
xn+1 = xn + h
φ ′ (xn) = f(xn,φ(xn))
φ ′′ (xn) = f ′ (xn,φ(xn))
.
φ (n) (xn) = f (n−1) (xn,φ(xn))
yn+1 = yn + h φ ′ (xn) + h
2
Salida xn+1, yn+1
φ ′′ (xn) + h
3
′′′ φ (xn) · · · h
(n) φ (xn) n
· · ·
1. Determine las fórmulas recursivas del método de Taylor de orden 2 para el problema
de valor inicial
Solución
observar que
x0 = 0 y0 = 1
y ′ = e xy
y(0) = 1
yn+1 = yn + hy ′ (xn) + h2
2! y′′ (xn)
yn+1 = yn + hf(xn,yn) + h2
∂f
2! ∂x (xn,yn) + ∂f
∂y (xn,yn)f(xn,yn)
fórmulas recursivas
f(x,y) = e xy
xn+1 = xn + h
yn+1 = yn + he (xn,yn) + h2
yne
2!
(xn,yn) + xne (xn,yn) e (xn,yn)
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