Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
Avant-propos
Si les trois problématiques adressées dans ce travail (modélisation mathématique, étude
théorique, analyse et simulations numériques) constituent séparément un travail en soi,
elles n’en sont pas moins intimement liées lorsque l’on souhaite comprendre un phénomène
naturel.
La modélisation mathématique consiste à traduire un phénomène réel (donc complexe)
à l’aide d’outils mathématiques. L’objectif de cet exercice scientifique est double : il s’agit
d’une part d’obtenir un modèle qui décrive autant que possible la réalité et d’autre part,
de pouvoir faire des prévisions, par exemple météorologiques dans le cas d’un modèle
d’atmosphère. Evidemment, ce travail n’a rien de systématique et repose sur une succession
d’observations et de simplifications. Le mathématicien doit faire des concessions afin de
satisfaire ses deux ambitions. En effet, plus le modèle mathématique prend en compte de
paramètres physiques, plus il offre une description proche de la réalité, mais plus il est
complexe et de ce fait son étude théorique et sa mise en oeuvre prédictive (numérique) en
deviennent plus difficiles.
Une fois le modèle mathématique établi, il reste de nombreuses questions auxquelles il
faut tenter de répondre. Peut-on le justifier, formellement ou rigoureusement? Possède-t-il
une ou plusieurs solutions ? Cette ou ces solutions fournissent-elles un bonne description
de la physique observée? Peut-on les approcher en discrétisant le problème? Comment?
Les résultats obtenus sont ils conformes à la réalité? Peuvent-il être utilisés de manière
prédictive? ...
Cette liste de questions, loin d’être exhaustive, met déjà en lumière les multiples difficultés
mathématiques auxquelles nous devons nous confronter pour comprendre un phénomène
issu de la physique ou de la biologie. C’est à travers trois exemples distincts (un modèle
de fluide à surface libre, un système hyperbolique de relaxation et un modèle d’écoulement
sanguin) que nous tentons ici d’apporter quelques éléments de réponses sur les aspects
modélisation, analyse théorique et simulations numériques. Les trois exemples abordés
s’inscrivent dans des contextes très différents, mais sont néanmoins liés par une caractéristique
commune : ils contiennent de multiples échelles, d’espace ou de temps, et ce sont
précisément ces différentes échelles qui permettent et motivent les travaux effectués au
cours de la thèse.
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