Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
138 Système continu
Lemme 21. (Condition suffisante d’équicontinuité)
Soit g un fonction mesurable bornée, définie sur (−R−h0;R+h0)×[0,T], avec T, R,
h0 > 0.On suppose qu’il existe une fonction ωR ∈ C([0,h0]), non décroissante, avec ωR(0) =
0, vérifiant, pour tout t ∈ (0,T), pour tout |h| < h0 :
R+h0
−R−h0
|g(t,x+h)−g(t,x)|dx ≤ ωR(|h|). (B.2.20)
On suppose également que, pour tous t, t + τ ∈ (0,T)(τ > 0), pour toute fonction φ ∈
C2 ([−R,R]), on a
R
(g(t+τ,x)−g(t,x))φ(x)dx
≤ CRτ φC2 . (B.2.21)
−R
Alors, pour tous t, t+τ ∈ (0,T)(τ > 0), on a :
où
R
−R
˜ωR(τ) = CR min
|g(t+τ,x)−g(t,x)| dx ≤ ˜ωR(τ), (B.2.22)
|h|+ωR(|h|)+ τ
; |h| ≤ h0
h2 Ce lemme permet d’établir d’abord l’équicontinuité en temps de u ε .
Proposition 22. (Equicontinuité de u)
Sous les hypothèses et notations de la Proposition 18, alors, pour tout intervalle (c,d)
de R, pour tout T > 0, il existe une fonction continue non décroissante ω ∈ C([0,T]),
indépendante de ε, avec ω(0) = 0, telle que, pour tout 0 ≤ t ≤ t+τ ≤ T :
d
|u
c
ε (t+τ,x)−u ε (t,x)|dx ≤ ω(τ).
Démonstration. On omet l’indiceε. Afin d’appliquer le Lemme 21 à la fonctionu, nous nous
assurons qu’elle en vérifie bien les hypothèses. L’inégalité (B.2.20) découle du Corollaire
20. Il suffit donc de montrer l’inégalité (B.2.21). Cette inégalité se démontre exactement
comme dans le cas de la relaxation semi-linéaire [152]. On se donne une fonction test φ à
support compact (pour supprimer les termes de bords), et on calcule :
d
(u(t+τ,x)−u(t,x))φ(x)dx
=
d t+τ
∂tu(s,x)ds φ(x)dx
c
=
c t
d t+τ
c
t
.
v(s,x)ds
≤ τ (d−c) √ aV(N0,a0)φ C 1 ,
∂xφ(x)dx
où la dernière inégalité vient de l’estimation L ∞ de v donnée par la Proposition 18. Ainsi,
les hypothèses du Lemme 21 sont satisfaites et la famille (u ε ) est bien équicontinue en
temps.