Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
2 Partie II : analyse d’un schéma préservant l’asymptotique 25
niveau discret. A. Chalabi [61, 62, 63] obtient également la convergence de schémas semiimplicites
de relaxation pour des lois de conservation scalaires ou des systèmes avec terme
source quelconque pouvant être raide. Par ailleurs, F. Filbet et S. Jin, dans [92], appliquent
leur méthode AP à un système hyperbolique non linéaire de relaxation et établissent des
estimations sur le schéma semi-discret en temps.
Ainsi, à notre connaissance, les études théoriques concernent des systèmes très particuliers
(par exemple (2.1)) ou sont partielles, montrant la convergence des schémas sans aborder
précisément la question de la consistance avec le problème limite, c’est-à-dire la propriété de
préserver l’asymptotique dans la définition 8. Parmi la profusion des travaux sur ce sujet,
il apparaît toutefois quelques traits caractéristiques communs aux différentes stratégies
de discrétisation employées. Nous citons ici trois propriétés que nous retiendrons pour
construire notre schéma :
• La structure hyperbolique du problème étudié nous offre, comme nous l’avons déjà
évoqué à la Section 1 de l’introduction, un cadre privilégié de méthodes numériques,
celui des volumes finis [133, 134].
• Le terme source pouvant devenir raide et engendrer des contraintes numériques, nous
adopterons, comme dans les articles précédemment cités, une stratégie de splitting.
Précisément, il s’agit de traiter la partie transport lors d’une première étape (qui
peut donc être explicite), puis de discrétiser la partie relaxation de manière implicite
ou semi-implicite.
• Enfin, pour obtenir des estimations d’erreurs et la convergence pour notre schéma
(voir la remarque 2), nous utiliserons pour le transport un flux Total Variation Diminishing
(ou TVD) [133], c’est-à-dire qui fait diminuer la variation totale de la solution
numérique. Notons que la variation totale est la version discrète de la semi-norme
des fonctions à variations bornées : ce sera un outil crucial à la fois pour assurer la
stabilité du schéma, mais également pour montrer la convergence au niveau discret
vers l’équilibre local en adaptant les arguments du niveau continu.
Dans la Partie II, nous tentons de fournir une étude complète d’un schéma AP (possédant
les trois propriétés ci-dessus) pour un modèle cinétique à deux vitesses généralisant le
système de Jin-Xin (2.1). La description du modèle ainsi que le résumé des travaux fait
l’objet de la section suivante.
2.2 Travaux effectués : résultats de convergences pour un modèle simple
L’analyse que nous proposons dans le Chapitre 4 concerne un modèle généralisant le
modèle de Jin et Xin (2.1) qui s’écrit :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂tu ε +∂xv ε = 0,
∂tv ε +a∂xu ε = − 1
ε R(uε ,v ε ),
(2.5)