Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
28 Introduction générale et présentation des travaux
3 Partie III : un modèle d’écoulement sanguin
Cette dernière section introduit et présente la Partie III de la thèse. Ce travail en collaboration
avec V. Milišić et K. Pichon Gostaf [150] a été initié au CEMRACS 2009, dans
le cadre du projet RUGOSITY, proposé par E. Bonnetier, D. Bresch et V. Milišić. Comme
dans la première partie, nous nous intéressons à un problème d’écoulement de fluide, dans
une description macroscopique. Cependant le modèle qui nous préoccupe provient cette fois
d’une problématique médicale : nous souhaitons mettre en évidence l’influence de la pose
d’un stent (aussi appelé endoprothèse ou tuteur vasculaire) dans une artère sur l’écoulement
sanguin. Nous commençons donc cette section en décrivant le contexte médical dans
lequel intervient ce dispositif. Puis nous soulevons la question de la modélisation mathématique.
Un aspect majeur de cette modélisation est la présence de deux échelles spatiales
dans le problème. En effet, la petite taille du stent (disons ε) constitue une échelle « microscopique
» relativement à la taille de l’artère, c’est-à-dire le domaine « macroscopique ».
Nous décrivons alors les difficultés mathématiques et numériques liées à cet aspect multiéchelles
et quelques moyens de les surmonter, à savoir la dérivation de lois de parois. Enfin,
nous évoquons quelques résultats existants avant de résumer les contributions du Chapitre
5.
3.1 Motivation médicale
L’étude de la circulation sanguine dans le corps (hémodynamique) intéresse de nombreux
scientifiques dès le XVIIème siècle. Le physicien et médecin J.L.M. Poiseuille [162]
propose au milieu du XIXème siècle l’un des premiers modèles d’écoulement sanguin dans
les artères et met en évidence un profil caractéristique laminaire et permanent d’écoulement
: le profil de Poiseuille, sur lequel nous reviendrons plus tard.
Il existe plusieurs phénomènes pouvant affecter l’écoulement du sang; celui qui nous préoccupe
ici est l’anévrisme. C’est une dilatation localisée de l’artère, qui peut être provoquée
par le dépôt de graisse dans l’artère (athérome). Cela engendre la formation d’une poche de
taille variable sur l’artère, appelée sac (voir la Figure 1.6) Cette pathologie n’est pas sans
risque. En effet, l’écoulement sanguin aux abords d’un sac anévrismal devient turbulent et
peut engendrer la création d’un caillot; en outre, une rupture d’anévrisme peut entraîner
un accident vasculaire cérébral (AVC).
Une possibilité de traitement de l’athérome ou de l’anévrisme (non rompu) est une intervention
chirurgicale, l’angioplastie, illustrée à la Figure 1.4 (8) : elle consiste à insérer
un dispositif métallique maillé et tubulaire (le stent ou tuteur vasculaire) dans l’artère,
afin de repousser contre la paroi ce qui obstrue le tube et empêche le sang de s’écouler
normalement.
Plusieurs types de ces dispositifs métalliques existent, nous pouvons en observer deux
exemples particuliers à la Figure 1.5 (9) .
8 Cette image provient de la page wikipédia http ://fr.wikipedia.org/wiki/Stent.
9 Ce sont des modèles conçus et commercialisés par l’entreprise Cardiatis www.cardiatis.com.