Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
6 Introduction générale et présentation des travaux
tandis que les conditions au fond, non pénétration et loi de paroi de type Navier [41] (avec
coefficient de friction laminaire κ) sont toujours données par :
⎧
⎨ ub ·∇xzb = wb,
(1.10)
⎩
κub = µ∂zub.
Des siècles après Blaise Pascal, on attribue à L. F. Richardson en1922 dans [166] l’introduction
des équations primitives de l’atmosphère, modèle que l’auteur établit avec l’ambition
de fournir des prévisions météorologiques. Mais les premiers ordinateurs du milieu du 20 ème
siècle n’avaient pas la puissance de calcul actuelle; les équations primitives furent donc un
temps mises de côté au profit de l’étude des modèles, plus simples, géostrophique et quasigéostrophique
(voir par exemple [159]). Les équations primitives reviennent au goût du
jour avec l’amélioration des ordinateurs, dans la dernière partie du XXème siècle.
Concernant leur justification mathématique, basée sur des développements asymptotiques
des équations de Navier-Stokes adimensionnées lorsque ε tend vers 0 (voir (1.7)),
nous pouvons citer quelques travaux. Par exemple, les articles pionniers de J.-L. Lions, R.
Temam et S. Wang [138, 139, 140] établissent formellement les équations primitives (ils
étudient également la limite géostrophique) entre 1992 et 1995. Cette dérivation formelle
est également décrite dans les ouvrages précédemment cités [136, 137, 159]. Par ailleurs,
P. Azerad et F. Guillén [19, 20] prouvent rigoureusement entre 1999 et 2001 la validité de
l’approximation hydrostatique pour les océans sous l’hypothèse d’une viscosité anisotropique
et des conditions de Dirichlet homogènes au fond.
Remarque 1. Sur les études théoriques des équations primitives, nous renvoyons le lecteur
une fois de plus aux articles [138, 139], où les auteurs établissent les premiers résultats
d’existence globale de solutions faibles. Enfin, une revue précise des résultats d’existences
pour les équations primitives (et d’autres modèles de fluides géophysiques) est réunie dans
l’article de R. Temam et M. Ziane paru en 2004 [176].
Enfin, les équations primitives sont largement utilisées en météorologie et océanographie
: elles interviennent dans plusieurs codes opérationnels aujourd’hui. Néanmoins, les
simulations des équations primitives sont relativement coûteuses : deux difficultés numériques
de Navier-Stokes, à savoir nonlinéarité et domaine spatial dépendant du temps, sont
toujours présentes. C’est pourquoi une autre famille de modèles d’approximation des équations
de Navier-Stokes a également connu un fort succès dès la fin des années 1970 : les
modèles de Saint-Venant (ou shallow water). La force principale de ces systèmes est leur
efficacité numérique, due essentiellement aux deux raisons suivantes :
• leur structure (partiellement) hyperbolique, que l’on précisera ultérieurement,
• la réduction manifeste de complexité numérique par rapport aux équations de Navier-
Stokes : le système est posé dans un domaine spatial fixe (et non plus variable) et sa
dimension est abaissée de un.