Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
2 Partie II : analyse d’un schéma préservant l’asymptotique 23
ε → 0 pour l’exemple (2.1)), nous rappelons maintenant quelques éléments théoriques
sur les systèmes hyperboliques de relaxation à travers l’exemple simple de la relaxation
semi-linéaire (2.1).
Une condition nécessaire de stabilité. Comme dans le domaine cinétique, la présence
d’un (unique) équilibre local et la convergence du problème de relaxation vers cet
équilibre lorsque ε tend vers 0 sont soumis à des conditions de stabilité, liées à la structure
mathématique des équations. Un élément crucial de la théorie de ces systèmes est
une condition de stabilité, dite condition sous-caractéristique ou condition de stabilité de
Shizuta-Kawashima dans le cas des systèmes en dimension plus grande que 1 [29, 129].
Considérons l’exemple (2.1) pour l’illustrer.
D’une part, ce système, observé à ε > 0 fixé, contient deux phénomènes qui s’affrontent.
Il possède une partie strictement hyperbolique, de vitesses caractéristiques √ a et − √ a.
Il est donc bien connu que ses solutions peuvent développer des discontinuités. Mais un
autre phénomène entre en concurrence avec le transport, la relaxation, symbolisée par le
terme source et qui est un mécanisme d’autant plus rapide que le paramètre ε > 0 est
petit. Cet autre phénomène peut conférer au système un caractère dissipatif sous certaines
conditions [29]. Il est même nécessaire de lui imposer une telle propriété si l’on souhaite
obtenir l’existence globale en temps de solutions régulières.
D’autre part, en regardant (2.1) sous un autre angle, nous pouvons le voir comme une
perturbation de la loi de conservation hyperbolique, suivante :
En effet, en prenant formellement ε = 0 dans (2.1), il vient :
∂tu+∂xA(u) = 0. (2.2)
v −A(u) = 0,
on s’attend donc à ce que, à la limite ε = 0, u soit solution de (2.2), appelé le système
à l’équilibre. Or, le problème de Cauchy pour (2.2) admet, sous certaines conditions, une
unique solution entropique et sa vitesse caractéristique est sup|A ′ (u)|. Il est donc évident
que l’éventuelle convergence d’une solution (u ε ,v ε ) de (2.1) vers (u,A(u)) où u est une
solution de (2.2) est soumise à une condition de stabilité nécessaire, qui doit relier les valeurs
propres des deux systèmes, tous les deux de nature hyperbolique : c’est la condition souscaractéristique,
qui demande que les valeurs propres du système à l’équilibre (2.2) soient
« entrelacées » entre celles du problème perturbé (2.1). Cela se traduit donc ici par :
∀u, |A ′ (u)| < √ a. (2.3)
C’est une condition nécessaire pour établir la convergence (en un sens à définir) de (u ε ,v ε )
(l’unique solution de (2.1)) vers (u,A(u)), où u est l’unique solution entropique de (2.2).
Observons formellement le lien entre cette condition et le caractère dissipatif de (2.1)
lorsque ε tend vers 0. Utilisons pour cela le développement de Chapman-Enskog, qui s’écrit
ici
v ε = A(u ε )+εv ε 1 +O ε 2 .