Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
132 Système continu
où V est donnée par (B.1.8), et h et g sont données par (B.1.6). Alors il existe une unique
solution faible globale (u ε ,v ε ) du problème de Cauchy (B.1.1)-(B.1.2) dans C [0,∞[,L 1 loc (R)2 .
De plus il existe une constante C > 0 dépendant uniquement de a, a0 et N0, telle que, pour
tout ε > 0 :
v ε (t)± √ au ε (t) L ∞ ≤ C ∀t > 0. (B.2.5)
Enfin, la condition sous-caractéristique est vérifiée : pour tout ε > 0, pour presque tout
(t,x) dans (0,∞)×R :
∂uR
u
∂vR
ε (t,x);v ε
(t,x)
< √ a. (B.2.6)
Démonstration. Omettons les exposantsε. Nous considérons la formulation diagonale (B.2.1).
Commençons par supposer les conditions initiales plus régulières : w0 et z0 dans C 1 0 (R).
Comme la fonction R est de classe C 1 , le Théorème 14 assure l’existence d’un T ∗ > 0 tel
qu’il existe une unique solution faible du problème de Cauchy (B.2.1)-(B.2.4) :
(w,z) ∈ C [0,T ∗ ];L 1 loc (R)2 .
En réalité, la régularité de la condition initiale assure même que :
(w,z) ∈ C 1 ([0,T ∗ ]×R) 2 .
Pour l’instant, T ∗ peut dépendre de ε, mais nous allons établir que T ∗ = +∞.
Le choix de a assure que la condition sous-caractéristique est satisfaite initialement. En
effet, pour tout x de R :
|u0(x)| N0 V(N0,a0),
donc d’après (B.1.6) et (B.1.11) :
∂uR
∂vR
(u0(x),v0(x))
g(V(N0,a0))
h(V(N0,a0)) < √ a.
De plus la dernière inégalité étant stricte, il existe un η > 0 tel que
√ a g(V(N0,a0))
h(V(N0,a0)) +η,
donc la continuité en temps de la solution et des dérivées de R assurent que le temps Tη
défini par
Tη := sup T T ∗
:
∂uR
∂vR
(u,v)
+ η
2 √
a ,
L ∞ ((0,T)×R)
est strictement positif. La condition sous-caractéristique est donc assurée jusqu’au temps
Tη > 0.
Nous pouvons maintenant montrer que le système est quasi-monotone sur (0,Tη)×R,
grâce à la condition sous-caractéristique. En effet, le système (B.2.1) est quasi-monotone