Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
2 Partie II : analyse d’un schéma préservant l’asymptotique 27
Résultats théoriques. Pour les schémas ainsi construits, nous obtenons différents résultats
de convergences, ainsi que des estimations d’erreurs qui justifient le diagramme
commutatif de relaxation pour notre modèle. Ils sont énoncés à la section 4.2.2 et résumés
ci-dessous.
Notons h = (∆x,∆t) le paramètre de discrétisation. Le couple (u ε,n ;v ε,n ) désigne la solution
du schéma Pε h et la déviation par rapport à l’équilibre local est donnée par :
Théorème 10.
δ ε,n = v ε,n −A(u ε,n ) .
Sous certaines conditions sur le terme source, ainsi que la condition sous-caractéristique,
les inégalités suivantes sont vérifiées.
(i) Contrôle de la déviation par rapport à l’équilibre :
⎧
⎨
⎩
δ ε,n 1 ≤ Cε+ δ ε,0 1 e −β0t n /ε
δ ε,n 1 ≤ e −β0t n /ε δ ε,0 1 + C∆te −β0∆t/ε
(ii) Convergence du schéma (non uniforme en ε) :
|u
R
ε h (t,x)−uε (t,x)| + |v ε h (t,x)−vε (t,x)|dx
≤ C
ε
∆t
δ ε,0 L 1
(iii) Consistance avec le problème limite (asymptotique ε → 0) :
ε
∀n ≥ 0, ε > 0,
siε < ∆t.
+ 1
+ ∆x 1/2
u ε h (t)−uh(t)1 +v ε h (t)−vh(t)1 ≤ Cte −β0∆t/ε 1+ 0,0
δ
. 1
Dans les preuves de ces estimations, nous utilisons tous les outils précédemment mentionnés.
Nous imposons en particulier un certain nombre de contraintes sur le terme source
afin de vérifier la condition de stabilité sous-caractéristique (section 4.2 p. 96). Nous établissons
ensuite des estimations a priori dans L ∞ et BV , en s’appuyant sur un principe de
comparaison comme dans le cas continu (section 4.3 p. 101). Les résultats de compacités
ainsi établis permettent de montrer la consistance du schéma avec le problème limite (section
4.4 p. 106). Nous terminons le Chapitre 4 par l’analyse des erreurs de consistance en
utilisant la formule des caractéristiques et en différenciant à chaque étape l’erreur venant
de la partie transport de celle venant de la partie relaxation, ce qui nous permet de montrer
la convergence du schéma (section 4.5, p. 110). Enfin, nous présentons à l’annexe B la
preuve du théorème 1.1 (p. 95), c’est-à-dire le résultat de convergence vers l’équilibre local
au niveau continu. Nous adaptons à notre cas les arguments de R. Natalini dans [152].
.