Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
26 Introduction générale et présentation des travaux
où le paramètre de relaxation ε joue le rôle du nombre de Knudsen en théorie cinétique,
tandis que le terme source R est l’analogue de l’opérateur de collision de l’équation de
Boltzmann : nous le souhaitons le plus général possible. Ainsi, nous considèrerons une
fonction non linéaire et possédant comme son analogue cinétique un unique équilibre local
(7) , à savoir :
R(u,v) = 0 ⇔ v = A(u). (2.6)
Remarquons que l’équilibre local est le même que celui de (2.1), le problème de l’équilibre
est donc aussi (2.2).
Stratégie de discrétisation. Comme annoncé précédemment, nous construisons un
schéma de splitting dont la première étape traite la partie transport par un schéma de
Lax-Friedrichs. Ensuite, la deuxième étape consiste à discrétiser le système différentiel
ordinaire sur (t ∗ ;t n+1 ) :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂tu = 0,
∂tv = − 1
ε R(u,v),
u(t ∗ ) = u ∗ , v(t ∗ ) = v ∗ ,
(2.7)
où (u ∗ ,v ∗ ) représente la solution de l’étape de transport (nous avons enlevé les exposants ε
par souci de clarté). Pour cette étape, nous utilisons une technique de pénalisation comme
dans [96, 92]. Plus précisément, dans le même esprit que dans [92], où F. Filbet et S. Jin
pénalisent l’opérateur de Boltzmann par l’opérateur BGK, nous pénalisons l’opérateur R
avec l’opérateur semi-linéaire de Jin-Xin, à savoir :
L(u,v) := v −A(u).
En effet, en introduisant cette fonction dans (2.7), il vient :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂tu = 0,
∂tv + 1 1
v = −1 R(u,v)−L(u,v) +
ε ε ε A(u),
u(t ∗ ) = u ∗ , v(t ∗ ) = v ∗ .
(2.8)
En utilisant cette formulation, nous pouvons donc intégrer exactement le membre de gauche
de l’équation sur v, puis traiter de manière implicite seulement le dernier terme raide
restant, A(u)/ε, qui a le bon goût de se calculer explicitement puisque sur l’intervalle
(t ∗ ,t n+1 ) la fonction u est constante! Ce schéma P ε h ainsi que sa version « relaxée » P0 h
sont décrits précisément à la section 4.2.1 p. 98 du Chapitre 4.
7 Cela revient à demander à R de satisfaire le théorème des fonctions implicites.