Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
A.2 D’autres simulations numériques 87
⎧
⎪⎨
⎪⎩
H ∈ L ∞ 0,T;L 2 (T) ,
hiui ∈ L ∞ 0,T;L 2 (T) ,
hi∂xui ∈ L 2 0,T;L 2 (T) ,
u1 ∈ L 2 0,T;L 2 (T) ,
ui+1 −ui
hi+1 +hi
∈ L 2 0,T;L 2 (T) .
Nous pouvons également obtenir d’autres estimations, à savoir :
⎧
⎨ ∂xh ∈ L 2 0,T;L 2 (T) ,
⎩
ui ∈ L 2 0,T;L 2 (T) .
(A.1.4)
(A.1.5)
Néanmoins, le contrôle sur h n’est pas suffisant pour passer à la limite dans les termes non
linéaires de (A.1.1) (voir [43] pour la dimension 2 et [144] pour la dimension 1), notamment
les termes hiu 2 i . L’étape cruciale est d’obtenir de la compacité forte L2 sur √ hiui. C’est
ce qui est délicat dans notre cas. En effet, considérons notre système avec seulement deux
couches. La conservation de la masse s’écrit :
∂t(h1 +h2)+∂x(h1u1)+∂x(h2u2) = 0.
Si l’on oublie un instant que la hauteur h1 de la couche inférieure est constante, on peut
écrire, en dérivant par rapport à x et en remplaçant ∂xhi par hi∂x(loghi) :
∂t(h1∂xlogh1 +h2∂xlogh2)+∂x(h1∂xu1 +h2∂xu2)+∂x(h1u1∂xlogh1 +h2u2∂xlogh2) = 0.
L’idée dans la dérivation de la BD-entropie est de s’affranchir des termes visqueux en multipliant
la dérivée de l’équation de la masse par µ et de l’ajouter à l’équation sur la quantité
de mouvement. La nouvelle équation décrit l’évolution d’une quantité de mouvement pour
une vitesse auxiliaire
vi := ui +µ∂xloghi.
Ensuite, la même technique que pour l’obtention de l’inégalité d’énergie (A.1.3) est employée
(multiplication par vi, intégration sur T et utilisation de la conservation de la masse
et d’intégrations par parties). Nous ne pouvons pas utiliser ici la même méthode, car les
deux vitesse u1 et u2 sont couplées dans la conservation de la masse.
A.2 D’autres simulations numériques
Nous terminons cette annexe en présentant des simulations numériques supplémentaires
de notre modèle multicouche pour des solutions discontinues. Nous considérons des