Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
B.2 Estimations a priori 139
L’équicontinuité en temps de v ε est légèrement plus délicate.
Proposition 23. (Equicontinuité de v)
Sous les mêmes hypothèses que précédemment, alors pour tout (c,d) ⊂ R, pour tous 0 <
ν < T, il existe une fonction continue non décroissante ω ν ∈ C([0,T −ν)), indépendante
de ε, avec ω ν (0) = 0, telle que, pour tous ν ≤ t ≤ t+τ ≤ T :
d
|v
c
ε (t+τ,x)−v ε (t,x)|dx ≤ ω ν (τ).
Démonstration. On omet l’indice ε. Comme pour u, il suffit de montrer l’inégalité (B.2.21)
afin d’utiliser le Lemme 21. De la même manière que précédemment, nous écrivons la
formule de Duhamel pour v, en utilisant le développement de Taylor de R :
v(t,x) = v0(x)e − t
0
où la fonction α s’écrit :
α(λ)
ε dλ +
t
0
e − t
λ
α(s)
ε ds1
α(λ)A(u(λ)) −a∂xu(λ) dλ,
ε
α(t) := ∂vR u(t); σv(t)+(1−σ)A(u(t)) ,
avec le paramètreσ compris entre0et1. Décomposons maintenant la différence(v(t+τ,x)−v(t,x))
comme suit :
v(t+τ,x)−v(t,x) = v0(x)
+ 1
ε
− a
t
0
t
0
0
+
−τ
e − t+τ
0
e − t
λ
e − t
λ
α(λ)
ε dλ −e − t
0
α(s)
ε ds
α(λ)
ε dλ
α(λ+τ)A u(λ+τ) −α(λ)A u(λ)
dλ
α(s)
ε ds
∂xu(λ+τ)−∂xu(λ) dλ
Dans la suite, nous noterons E la fonction définie par :
1
ε α(λ+τ)A u(λ+τ)
−a∂xu(λ+τ) e − t α(s)
λ ε ds dλ.
E(λ,t) := e − t
λ
α(s)
ε ds .
Pour montrer l’inégalité (B.2.21), il nous faut multiplier par une fonction test positive
φ et intégrer en espace : nous introduisons donc la quantité à estimer
d
W(t) :=
(v(t+τ,x)−v(t,x))φ(x)dx
,
et la majorons comme suit :
c
W(t) ≤ J1 +J2 +J3 +J4,