Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
34 Introduction générale et présentation des travaux
sur la frontière Γ0 contenant l’information de la rugosité. Suivant les conditions aux
limites choisies initialement, cette loi de paroi possède différente dénominations :
Navier, Beavers, Joseph, etc (voir par exemple [115]).
Un état de l’art de modèles d’artères avec stent. A notre connaissance, les premiers
travaux proposant une analyse rigoureuse de lois de parois concernent le problème de Poisson
avec des conditions aux limites homogènes de Dirichlet sur tout le bord d’un domaine
rugueux : les articles d’Y. Achdou, O. Pironneau [1] avec F. Valentin [4] et P. Le Tallec [3].
Par ailleurs, W. Jäger et A. Mikelić [112, 114, 115] se sont intéressés au contact entre un
fluide visqueux et un milieu poreux, dont la modélisation géométrique peut s’apparenter
à l’illustration de la Figure 1.8. Les auteurs y étudient le même type de conditions aux limites
que dans les travaux précédemment cités ; cependant les techniques de prolongement
de la solution à l’ordre 0 du domaine lisse au domaine rugueux diffèrent (nous utiliserons
à la Partie III la stratégie d’Y. Achdou, qui consiste en un prolongement linéaire, et
non constant, dans la partie rugueuse). Pour autant, les deux stratégies conduisent aux
mêmes lois de parois implicites moyennées. En effet, dans [39, 40], D. Bresch et V. Milišić
unifient les deux approches, dérivent des lois de parois et établissent des estimations d’erreurs
pour un modèle d’artère avec stent avec la géométrie de la Figure 1.7, périodique. Ils
considèrent un problème de Poisson particulier pour la composante axiale uε ∈ R de la
vitesse du fluide, avec des conditions sur les bords Γε et Γ1 de type Dirichlet, ainsi que des
conditions entrantes et sortantes périodiques en vitesse sur les bords latéraux Γin et Γout.
Le cas d’un écoulement dirigé en pression (plus réaliste dans le contexte de l’écoulement
sanguin) est aussi étudié par W. Jäger et A. Mikelić [116, 117], toujours pour un écoulement
de type Poiseuille. Pour le contexte des artères avec stent, ce sont les articles de D. Bresch,
V. Milišić et E. Bonnetier [33, 34] qui sont à la base des travaux de la Partie III. Les
auteurs adaptent leurs résultats précédents au cas non périodique, avec des conditions
aux limites latérales de type Neumann. La présence de conditions de Neumann empêche
la généralisation immédiate des résultats pour les conditions de Dirichlet et nécessite des
estimations plus délicates, dites très faibles [155]. Les estimations a priori sont améliorées
ensuite par V. Milišić [147]. Evoquons enfin que des résultats existent sur des rugosités
aléatoires [24]. Pour la géométrie avec bifurcation (Figure 1.8), nous renvoyons à l’article
de V. Milišić [148], dans lequel l’auteur étudie un problème de Stokes, toujours stationnaire
et dirigé en pression.
Dans tous les travaux précédemment cités, le régime d’écoulement étudié est stationnaire.
Bien que ces éléments bibliographiques soient loin d’être exhaustifs, peu de travaux
concernent des écoulements instationnaires (citons néanmoins [113, 67] par exemple) et
l’objectif principal de la Partie III est de généraliser les résultats de [40] au cas d’un problème
de Stokes instationnaire, dirigé en pression.
3.3 Présentation des résultats
Le travail présenté dans la Partie III [150] généralise les résultats obtenus dans [40] et
[148] au cas d’un problème de Stokes instationnaire, où l’écoulement est dirigé en pression.