Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
viii TABLE DES MATIÈRES
3.2.2 Comparison with the full Euler hydrostatic model, flat bottom . . . 73
3.2.3 Perturbation of rest in velocity, flat bottom . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.4 Periodic bottom, dynamic behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.5 Subcritical flow over a bump . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Annexe A Compléments sur le modèle multicouche 83
A.1 Sur l’énergie du système multicouche en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A.1.1 Une estimation d’énergie naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
A.1.2 Estimations supplémentaires ? Existence de solutions faibles ? . . . . 86
A.2 D’autres simulations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
A.2.1 Perturbation du lac au repos en vitesse, fond plat . . . . . . . . . . . 88
A.2.2 Perturbation du lac au repos en hauteur, fond plat . . . . . . . . . . 89
II Un schéma préservant l’asymptotique 91
4 An Asymptotic Preserving scheme for relaxation systems 93
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 Numerical schemes and main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.1 An Asymptotic Preserving scheme for the relaxation system . . . . 98
4.2.2 Convergence results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3 A priori estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3.1 A priori estimate on the relaxation operator . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3.2 L ∞ estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3.3 BV estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.4 Trend to equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.4.1 Asymptotic behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.4.2 Proof of Theorem 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.5 Proof of Theorem 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.5.1 Consistency error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.5.2 Convergence proof. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.6 Numerical simulations for the Broadwell system . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.6.1 The Riemann problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.6.2 Approximation of smooth solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Annexe B Compléments sur le système continu 127
B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B.1.1 Rappel des notations et hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B.1.2 Rappels sur les systèmes semi-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
B.2 Estimations a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
B.2.1 Estimations L ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
B.2.2 Estimations BV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
B.2.3 Equicontinuité en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137