Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
2 Partie II : analyse d’un schéma préservant l’asymptotique 19
Nous nous intéressons donc au Chapitre 3 à la discrétisation par volumes finis du modèle
multicouche (1.24). Pour cela, nous utilisons une troisième formulation du système multicouche
(voir le système (3.1.1) p. 68). Nous construisons donc un schéma volume finis
explicite en temps, avec un flux de Lax-Friedrichs et des limiteurs de pente minmod. Par
ailleurs nous proposons également une discrétisation du même type pour le système primitif
(1.8) sans viscosité ni friction, en utilisant une formulation lagrangienne du système.
Nous présentons ensuite des résultats numériques avec trois objectifs :
• montrer que notre modèle est au moins aussi bon que les modèles classiques de Saint-
Venant et qu’il approche correctement les équations primitives sans viscosité,
• faire apparaître des recirculations à l’intérieur du fluide,
• et illustrer le comportement dynamique du modèle : on peut ajouter et retirer des
couches par au-dessus.
Les Chapitres 2 et 3 sont réunis dans un article soumis [165]. Enfin, nous présentons en
Annexe A de la Partie I quelques compléments sur notre modèle multicouche. Nous présentons
quelques éléments sur son énergie en 1D à la Section A.1, ainsi que des simulations
numériques supplémentaires à la Section A.2.
2 Partie II : analyse d’un schéma préservant l’asymptotique
Dans cette section, nous décrivons les motivations initiales qui ont conduit au travail
de la Partie II, effectué en collaboration avec F. Filbet [94]. Nous en résumons ensuite les
principaux résultats.
Le phénomène qui nous intéresse ici est celui de la relaxation, qui apparaît dans de nombreuses
situations physiques [65, 142] : par exemple en théorie cinétique des gaz monoatomiques,
si un état d’équilibre est perturbé, le système relaxe graduellement vers l’équilibre.
Ce mécanisme de relaxation existe également dans les matériaux élastiques avec mémoire,
ou dans les transitions de phases. Il est souvent représenté dans les équations par un
coefficient ε > 0, soit grand (phénomène relativement lent par rapport aux échelles de
temps caractéristiques), soit très petit (phénomène très rapide, quasiment instantané).
Cela constitue un enjeu à la fois mathématique et numérique si l’on souhaite modéliser et
simuler ce processus dans lequel plusieurs échelles de temps s’affrontent. Le centre de nos
préoccupations est l’enjeu numérique, mais il est primordial de comprendre la physique du
problème au niveau continu avant de le discrétiser.
Si les travaux réalisés ici concernent un modèle jouet hyperbolique, nous sommes néanmoins
motivés par les équations cinétiques. C’est pourquoi nous commençons par évoquer
brièvement l’équation de Boltzmann dans un adimensionnement particulier. Nous rappelons
les résultats existants sur la limite singulière lorsque le libre parcours moyen tend vers
0 (c’est-à-dire lorsque le gaz relaxe très vite vers un équilibre thermodynamique), résultats
qui se situent au niveau continu. Nous abordons ensuite la problématique du traitement
numérique ainsi que les solutions précédemment apportées : afin de fournir une discrétisation
du problème cinétique qui soit en adéquation avec la limite hydrodynamique lorsque