Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
36 Introduction générale et présentation des travaux
abstraits : par exemple, les solutions très faibles à la Nečas [155] sont calculées ici
explicitement, grâce à des hypothèses simplificatrices telles que la forme simple du
domaine Ω0 = [0,1] 2 et à l’existence, notamment, d’une base hilbertienne de L 2 (Ω0).
Nous résumons dans la proposition suivante les résultats obtenus au Chapitre 5 (estimations
d’erreurs successives et loi de paroi).
Proposition 11.
On a les estimations suivantes :
√
ûǫ,k −û0,kH 1 (Ωε) ≤ c1 ǫ , ûǫ,k −û0,kL 2 (Ω0) ≤ c2ǫ. (3.4)
ûǫ,k − Ûǫ,k H 1 (Ωε) ≤ c3ǫ , ûǫ,k − Ûǫ,k L 2 (Ω0) ≤ c4ǫ 3/2 . (3.5)
ûǫ,k −uε,k L 2 (Ω0) ≤ c5ǫ 3/2 . (3.6)
Enfin, le problème d’approximation macroscopique dans le domaine lisse s’écrit :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(ik −∆) ˆ Vε,k = Ĉk
dans Ω0,
ˆVε,k = 0 sur Γ1,
ˆVε,k = εβ ∂ˆ Vε,k
∂x2
sur Γ0,
ˆVε,k est x1-periodique sur Γin ∪Γout.
De plus, on a les estimations d’erreurs suivantes :
ûǫ,k − ˆ Vε,kL2 (Ω0) ≤ c6ǫ 3/2
et ûǫ,k − ˆ
Vε,k
H 1 (Ω0)
Toutes les constantes sont indépendantes du mode de Fourier k considéré.
(3.7)
√
≤ c7 ǫ. (3.8)
La dernière section du Chapitre 5 vérifie numériquement les ordres d’approximations établis
précédemment. Enfin, nous présentons en Annexe C des simulations directes d’une artère
3D avec un sac d’anévrisme, avec ou sans stent, afin de comparer la différence de coût de
discrétisation suivant la taille ε du stent.
4 Conclusions, perspectives et travaux en cours
Dans cette section, nous commentons d’abord brièvement les résultats de la partie II et
présentons une piste de recherche que nous explorons actuellement autour de ce schéma AP.
Puis nous proposons d’autres perspectives de recherche dans le contexte de la dynamique
des fluides à surface libre.