Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
86 Compléments sur le modèle multicouche
Enfin, pour les derniers termes nous allons à nouveau faire des changements d’indices dans
les sommes. Nous notons
⎧
⎪⎨
Bi = ui−1/2wi−1/2 −ui+1/2w i+1/2,
Alors
N
i=1
N
i=1
T
T
⎪⎩
Ci = −2µ ui −ui−1
+2µ
hi +hi−1
ui+1 −ui
.
hi +hi+1
Biui =
N−1
i=1
Ciui = −2µ
Pour conclure, il suffit de remarquer que
1
2
T
N−1
i=1
w i+1/2
grâce à la définition des u i+1/2.
ui+1/2wi+1/2(ui+1 −ui),
T
N−1
i=1
2
ui+1 −u 2 i =
T
N−1
i=1
(ui+1 −ui) 2
hi +hi+1
−κ
u
T
2 1 .
ui+1/2wi+1/2(ui+1 −ui),
T
A.1.2 Estimations supplémentaires ? Existence de solutions faibles ?
Si l’on s’intéresse à l’étude des solutions faibles du modèle multicouche 1D, il est nécessaire
de choisir le « bon espace » fonctionnel et d’établir des estimations fournissant
assez de compacité sur les solutions. En s’inspirant des solutions faibles pour le système
classique de Saint-Venant visqueux (voir [144] par exemple), nous pouvons chercher des
solutions avec la régularité suivante pour tout T > 0 :
ui ∈ L 2 0,T;L 2 (T) ,
ui ∈ L ∞ (0,T;L ∞ (T))∩L ∞ 0,T;H 1 (T) ∩L 2 0,T;H 2 (T) .
Une attention particulière doit également être portée sur le choix des conditions initiales,
par exemple : √ h 0 ∈ H 1 (T), h 0 0,
hiui ∈ L 2 (T).
Evidemment, puisque nous ne considérons pas ici les effets de capillarité ni de friction
turbulente, notre première estimation d’énergie ne donne pas les mêmes estimations que
dans [43, 144].
L’estimation a priori d’énergie (A.1.3) établie précédemment permet d’obtenir de la compacité
sur plusieurs termes si l’on s’intéresse à l’étude des solutions faibles du système
multicouche, à savoir :