Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
1 Partie I : modélisation de fluides géophysiques à surface libre 7
Modèles classiques de Saint-Venant
Le système de Saint-Venant homogène (sans terme source) unidimensionnel est introduit
grâce à des observations physiques par A.J.C. Barré de Saint-Venant en 1871 [167].
Mais ce n’est que dans la deuxième moitié du XXème siècle que les mathématiciens ont
étudié les liens entre ces équations et les autres modèles hydrodynamiques. Les modèles de
Saint-Venant proviennent essentiellement d’une intégration dans la direction verticale des
équations de Navier-Stokes, et décrivent l’évolution de la hauteur totale du fluide H(t,x)
et de la moyenne sur la colonne d’eau de la vitesse horizontale
U(t,x) =
1
H(t,x)
η(t,x)
zb(x)
u(t,x,z)dz.
Dans notre cas, la présence d’une bathymétrie non triviale et d’un terme de friction linéaire
fournit la formulation suivante :
⎧
⎨ ∂tH +divx(HU) = 0,
⎩
∂t(HU)+divx HU⊗U +gH∇xH = −gH∇xzb −κU.
(1.11)
Justification des équations de Saint-Venant. D’une part, l’obtention formelle du
système classique de Saint-Venant à partir des équations d’Euler, c’est-à-dire sans viscosité,
est bien connue (voir par exemple Stoker [171] en 1958 ou Whitham [179] en 1999). D’autre
part, les travaux plus récents de J.-F. Gerbeau et B. Perthame [101] (2001) dérivent une
version visqueuse des équations de shallow water 1D à partir des équations de Navier-
Stokes 2D dans le cas d’un fond plat, avec une loi de friction de type Navier au fond. Cette
version étendue du système de Saint-Venant s’écrit :
⎧
⎨ ∂tH +divx(HU) = 0,
⎩
∂t(HU)+divx HU⊗U +gH∇xH = −gH∇xzb +4µ divx(H ∇xU)− ˜κU,
(1.12)
où ˜κ est le coefficient de friction modifié, défini par :
˜κ =
κ
1+ κ .
3µ H
Cependant, il est à noter que l’obtention de ce système nécessite, pour être rigoureuse, des
hypothèses supplémentaires. En particulier, dans [101], les auteurs requièrent l’asymptotique
suivante pour les coefficients de friction et de viscosité :
µ = εµ0, κ = εκ0. (1.13)
Alors, sous ces hypothèses, les systèmes (1.11) et (1.12) sont des approximations de Navier-
Stokes en O(ε) et O ε 2 respectivement. Plus tard, S. Ferrari et F. Saleri [87] (2004), puis
F. Marche [143] (2007) généralisent le résultat de [101] : ils dérivent un système de Saint-
Venant 2D à partir des équations de Navier-Stokes 3D, incluant les effets de Coriolis et avec