Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
30 Introduction générale et présentation des travaux
l’aspect multi-échelles du problème. En effet, la petite taille du stent constitue une échelle
« microscopique » qui vient s’ajouter à l’échelle « macroscopique » globale de l’artère.
Donnons-nous quelques ordres de grandeurs des différentes échelles spatiales du problème :
• diamètre de l’artère fémorale :∅A = 6mm
• épaisseur totale du stent : ε = 0.25mm
• épaisseur d’une spire du stent : ε = 0.04mm
• diamètre d’un globule rouge : ∅RC = 0.008mm.
Aussi sera-t-il fondamental de prendre en compte correctement la rugosité du domaine
dans les équations afin d’étudier l’influence effective du stent. En outre, d’un point de vue
numérique, nous devrons envisager une alternative au maillage direct du domaine rugueux,
trop coûteux.
3.2 Modélisation mathématique : état de l’art
Commençons par remarquer que la situation qui nous intéresse ici appartient à une famille
de problèmes mathématiques largement étudiés : les problèmes rugueux en mécanique
des fluides. La littérature concernant l’étude des effets d’une rugosité sur l’écoulement d’un
fluide est extrêmement riche. Nous pouvons citer par exemple les travaux d’Y. Achdou,
O. Pironneau, F. Valentin, et P. Le Tallec [2, 3, 4], ceux d’Y. Amirat et J. Simon [6] ou
encore ceux de D. Gérard-Varet et A. Basson [24], ainsi que les références de ces articles.
Dans ce contexte, il apparaît un phénomène de couche limite au voisinage de la bordure
rugueuse qui modifie le comportement du fluide. Cela constitue essentiellement un enjeu
numérique, car en général, les grilles de discrétisations ne sont pas assez fines pour capturer
correctement les rugosités de taille ε (très petit) du domaine. Une possibilité pour
surmonter cette difficulté numérique est une modification des équations au niveau continu,
à savoir la dérivation de lois de parois. Il s’agit de conditions aux limites artificielles sur le
bord d’un domaine fictif « lisse », à l’intérieur du domaine rugueux. Alors les effets de la
rugosité seront contenues dans de nouvelles équations, elles-mêmes posées dans un domaine
géométrique lisse, facile à discrétiser.
L’obtention de lois de parois constitue l’objectif principal du présent travail. Avant cela, il
est nécessaire d’établir un modèle mathématique adapté à notre contexte particulier. Pour
cela, nous devrons évoquer la question de la modélisation pour trois aspects du problème :
• l’artère, avec ou sans stent (domaine lisse ou rugueux),
• le fluide et ses propriétés,
• le régime de l’écoulement.
Précisons les hypothèses et notations pour la modélisation de notre domaine rugueux, l’artère
stentée. Comme dit précédemment, il convient d’en décrire l’aspect double échelle,
grâce au paramètre ε > 0, la taille caractéristique de la rugosité (le stent). Nous choisissons,
pour simplifier, de ne pas prendre en compte l’élasticité des parois des artères et