Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
10 Introduction générale et présentation des travaux
d’espace : ⎧⎪ ⎨
⎪⎩
∂tH +∂x(H U) = 0,
∂t(HU)+∂x
HU 2 +g H2
= 0,
2
est un système strictement hyperbolique de deux lois de conservation, pourvu que la hauteur
H reste strictement positive. Ses valeurs propres réelles distinctes sont alors
U − gH et U + gH .
Nous renvoyons aux ouvrages de D. Serre [169] pour l’étude théorique des problèmes hyperboliques.
Ce qui nous intéresse ici, ce sont des particularités de ces systèmes utiles à
la construction du schéma, à savoir la formulation conservative, et la propagation à vitesse
finie de l’information (qui permet l’utilisation de schémas explicites). Pour une description
précise des méthodes volumes finis en général, nous renvoyons le lecteur à quelques
ouvrages classiques : ceux de R. J. LeVeque [133, 134], de R. Eymard, T. Gallouët et
R. Herbin [84], ou encore d’E. Godlewski et P.A. Raviart [102]. Nous présentons succintement
ici le principe général de la méthode pour une loi de conservation scalaire (pas de
terme source) :
∂tV +∂xF(V) = 0. (1.15)
Nous considérons un schéma aux différences finies explicite en temps (typiquement Euler)
et nous donnons un maillage du domaine spatial (xj+1/2)j∈Z : les noeuds du maillage
xj+1/2 sont les interfaces des cellules de contrôle ou mailles Cj =
xj−1/2;xj+1/2 . En intégrant
l’équation (1.15) sur chaque maille, nous approchons la solution non pas en valeurs
ponctuelles aux noeuds du maillage, mais en valeurs moyennes sur chaque maille (d’où
l’obtention d’une solution numérique constante par morceaux, foncièrement discontinue).
Pour l’équation (1.15), le schéma s’écrit :
où V n
V n+1
j −V n ∆tn
j +
∆xj
F n j+1/2 −Fn
j−1/2
= 0,
j désigne une approximation de la moyenne de V sur la cellule Cj au temps tn . Enfin,
le flux numérique Fn j+1/2 représente une approximation du flux F à l’interface entre les
cellules Cj et Cj+1 au temps tn . Parce que l’on n’a pas d’information sur la solution aux
interfaces des mailles, la première difficulté dans la construction du schéma réside dans le
choix du flux numérique. C’est la multiplicité de choix possibles pour ce flux, en fonction
de la physique du problème, qui fait la diversité des schémas volumes finis.
Dans cette thèse (au Chapitre 3, mais également dans la Partie II), nous nous restreindrons
aux schémas dits à trois points, pour lesquels le flux numérique s’écrit :
F n j+1/2 = F V n
j ,V n
j+1 ,
où F est consistant avec le flux continu, c’est-à-dire
F (V,V) = F(V).