Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
8 Introduction générale et présentation des travaux
une topographie non triviale, soumise cependant à une autre restriction mathématique, à
savoir la faible variation de la bathymétrie :
∇xzb = O(ε). (1.14)
Notons que dans [143], l’auteur considère également un terme de friction turbulente, et
obtient un terme visqueux différent de celui de [87]. Dans un travail plus récent, L. Bonaventura,
A. Decoene et F. Saleri [75] (2007) dérivent un autre modèle, avec une nouvelle
correction des termes de friction. Citons également les travaux de J.F. Bouchut et M. Westdickenberg
en 2004 [35], puis ceux de M. Boutounet, L. Chupin, P. Noble et J.P. Vila en
2008 [37] où les auteurs s’affranchissent de l’hypothèse sur le gradient de la bathymétrie.
Mentionnons enfin l’article de 2007 de D. Bresch et P. Noble [44] dans lequel les auteurs
proposent une justification mathématique rigoureuse de la dérivation formelle du système
de Saint-Venant 1D à partir des équations de Navier-Stokes incompressibles 2D sur un plan
incliné.
Energies, résultats d’existences. Beaucoup d’études théoriques ont été conduites sur
les équations de Saint-Venant, en raison notamment de leur structure mathématique hyperbolique
(nous y reviendrons un peu plus loin). Nous nous intéressons ici aux résultats
d’existence de solutions, qui pourront être confrontés au théorème du Chapitre 2.
Rappelons d’abord l’énergie naturelle du système de Saint-Venant, qui fournit les estimations
a priori de base lorsque l’on cherche des solutions faibles. Elle s’écrit :
E = 1
2 H|U|2 + 1
2 gH2 +gHzb.
L’inégalité d’énergie s’obtient de manière classique (voir par exemple les ouvrages de
D. Serre [169] sur les lois de conservation) et varie suivant le terme de viscosité choisi.
Nous verrons à l’Annexe A que notre système Saint-Venant multicouche possède également
une énergie consistante avec celle du modèle classique à une couche. Cependant,
cette estimation n’est pas suffisante pour établir l’existence de solutions faibles. La difficulté
majeure provient du manque de contrôle sur la hauteur H, pour les passages à la
limite dans les termes non linéaires. Plusieurs solutions ont été trouvées, en ajoutant des
termes de friction quadratique, de capillarité, en considérant différents termes visqueux ; le
principe est d’établir des estimations a priori supplémentaires, contrôlant logH dans un
espace adéquat. Citons deux résultats d’existence de solutions faibles ainsi obtenus.
• Par exemple, P. Orenga [157] (1995) établit un théorème d’existence de solutions
faibles, pour un terme de viscosité µH △U, avec des données initiales suffisamment
petites et des conditions de Dirichlet au bord du domaine. La majoration essentielle
est un contrôle de H logH dans L ∞ 0,T;L 1 .
• En considérant le terme visqueuxdiv H∇U , plus « consistant » avec Navier-Stokes
(c’est le cas que nous considèrerons dans la suite), il n’est pas possible de diviser
l’équation de la quantité de mouvement par la hauteur, il faut donc procéder autrement.
En 2003, les travaux de D. Bresch, B. Desjardins et C.K. Lin [42] préparent les