Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
134 Système continu
cependant obtenir des bornes L ∞ sur les solutions, ce qui suffira. Pour cela, nous préférons
la formulation en u et v de ce système, à savoir :
avec les conditions initiales
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
u ′ = 0,
v ′ = − 1
ε R(u,v),
u(0) = − 1
√ a R0 := U0,
v(0) = 0.
(B.2.9)
(B.2.10)
Ce système différentiel ordinaire possède une unique solution globale que nous allons « expliciter
» grâce au développement de Taylor de R et à la formule de Duhamel. Tout d’abord
la fonction u est identiquement égale à U0 pour tout temps. Ensuite, la formule de Taylor
appliquée à R entre les points (U0,A(U0)) et (U0,v(t)) donne, pour tout t > 0 :
où la fonction α s’écrit :
R(U0,v(t)) = α(t) (v(t)−A(U0)) ,
α(t) := ∂vR U0; σv(t)+(1−σ)A(U0) ,
avec le paramètre σ compris entre 0 et 1. Nous pouvons maintenant écrire la formule de
Duhamel pour le système (B.2.9) -(B.2.10); elle donne, pour tout t > 0 : pour tout t > 0 :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
u(t) = U0,
v(t) = 1
ε A(U0)
t
e
0
− t
τ
α(s)
ε ds α(τ)dτ .
(B.2.11)
Ainsi, grâce à l’hypothèse (B.1.6) sur le gradient de R, la fonction α reste bornée pour
tout t > 0 (quel que soit le paramètre σ) comme suit :
β0(U0) ≤ α(t) ≤ h(U0). (B.2.12)
Choisissons donc la valeur de R0, donc celle de U0 = 1
√ a R0. Comme les conditions initiales
(B.1.2) de notre problème de Cauchy vérifient
il vient pour les variables diagonales :
|u0(x)|, |v0(x)| N0,
|w0(x)|, |z0(x)| (1+ √ a)N0.