Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
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La première partie est ainsi consacrée à la modélisation d’un fluide géophysique à surface
libre (typiquement un océan) pour lequel ce sont des échelles spatiales caractéristiques qui
sont très différentes. En effet, en s’appuyant sur des observations physiques, nous pouvons
mettre en évidence un nombre sans dimensionε > 0 très petit, à savoir le rapport entre deux
grandeurs caractéristiques du problème : la profondeur typique du fluide et la longueur
d’onde moyenne des mouvements horizontaux. Grâce à cette hypothèse, dite de shallow
water, nous dérivons un nouveau modèle multicouche de type Saint-Venant à partir des
équations primitives, que nous étudions ensuite [165].
Dans la deuxième partie de ce manuscrit, en collaboration avec F. Filbet [94], nous nous
intéressons à un problème hyperbolique de relaxation. Motivés par la théorie cinétique
des gaz, nous présentons ici un modèle jouet dans lequel les diverses échelles s’affrontant
sont des échelles de temps : un phénomène de transport est accompagné d’un mécanisme
de retour vers un équilibre local matérialisé par un terme source dans les équations. La
vitesse de ce mécanisme de relaxation, représentée dans les équations par un coefficient
sans dimension 1
> 0, peut être très rapide (ε → 0). Le terme source devient alors raide
ε
et constitue un enjeu important dans son traitement numérique : c’est la préoccupation
majeure de notre travail, effectué dans le cadre des schémas préservant l’asymptotique
(Asymptotic Preserving).
Enfin, la troisième partie est issue d’un travail en collaboration avec V. Milišić et K. Pichon
Gostaf [150], initié au CEMRACS 2009 et concerne un modèle d’écoulement sanguin dans
des artères avec stents. Dans ce cas, les différentes échelles apparaissent dans le domaine
géométrique sur lequel sont posées les équations. En effet, si l’on symbolise grossièrement
l’artère par un cylindre droit Ω, le stent forme alors une rugosité périodique et de petite
taille ε > 0 au bord du domaine lisse : les équations sont donc posées dans un domaine
rugueux Ωε, dont le maillage direct est peu envisageable car très coûteux si l’on souhaite
rendre compte de l’influence effective du stent sur l’écoulement du sang dans l’artère.
L’objectif est donc de surmonter cette difficulté numérique en modifiant les équations afin
d’obtenir un système posé dans le domaine lisse, les informations de la rugosité étant
contenues dans une loi de paroi implicite.