Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
24 Introduction générale et présentation des travaux
En introduisant cette expression dans le système (2.1), nous obtenons en supprimant les
termes d’ordres élevés en ε la correction du premier ordre de la loi de conservation (2.2) :
∂tu+∂xA(u) = ε∂x(β∂xu) , (2.4)
où β = a− A ′ (u) 2 . Ainsi le caractère parabolique de (2.4) est contraint à la condition
(2.3).
Remarque 9. Il est important de préciser que la condition sous-caractéristique n’est pas
toujours vérifée, ce qui peut entraîner des difficultés numériques. Cela se produit lorsque le
transport est non linéaire : citons les travaux à ce sujet de C. Mascia et R. Natalini [145] ou
l’article de S. Jin et M.A. Katsoulakis [121]. En réalité, dans le cadre qui nous intéresse ici,
le transport est linéaire : nous pouvons donc facilement vérifier cette condition de stabilité,
et même en déduire l’existence d’une entropie dissipative pour le système « perturbé ».
Pour la preuve rigoureuse de la convergence vers l’équilibre pour le modèle de Jin-Xin,
nous renvoyons à l’article de R. Natalini [152]. Nous en verrons une adaptation à notre
système à l’Annexe B de la Partie II. La preuve proposée dans [152] se situe dans le cadre
mathématique des fonctions à variations bornées (BV) et des solutions faibles avec la
régularité L 1 loc
et repose sur des estimations de compacité uniformes en ε. Les estimations
utilisent en particulier une propriété intéressante du système (2.1) : la quasi-monotonie
(voir [108, 170], ainsi que le rappel de la définition à l’Annexe B, p. 130). Cette propriété
permet d’obtenir un principe de comparaison utile pour l’uniformité des estimations. Enfin,
pour des exposés détaillés sur les systèmes hyperboliques de relaxation en général, nous
nous référons aux travaux de G.Q. Chen, T.P. Liu et C.D. Levermore [65], à l’article
fondamental de T.-P. Liu [142], ainsi qu’à l’article de revue de R. Natalini [154] et les
références de ces papiers.
Discrétisation. La littérature concernant la discrétisation de systèmes hyperboliques de
relaxation généraux est, comme dans le cadre cinétique, très riche! Nous tenons cependant
à distinguer deux grandes familles de stratégies numériques. D’une part, les schémas dits
« de relaxation » ont pour objectif premier de traiter un système de lois de conservations
(le problème à l’équilibre) en introduisant une relaxation « artificielle » : dans ce cas, nous
renvoyons par exemple aux travaux d’A. Chalabi [61, 62], et Y. Qiu [63]. D’autre part,
et c’est le point de vue adopté dans cette thèse, il y a les schémas AP, visant à traiter
le problème de relaxation lui-même, pout toutes les valeurs possibles du paramètre de
relaxation. Nous renvoyons une fois de plus aux travaux de S. Jin, L. Pareschi et G. Toscani
[124, 125], mais également ceux de S. Jin [120] avec C.D. Levermore [123], Z. Xin [126]
et F. Filbet [92], ou encore les articles de D. Aregba-Driollet et R. Natalini [8] ou de L.
Pareschi et G. Russo [158], ainsi que leurs références bibliographiques.
Cependant, même si l’efficacité de ces méthodes est aujourd’hui largement illustrée par les
simulations numériques, peu de travaux proposent une analyse mathématique des schémas
construits. D. Aregba-Driollet et R. Natalini [8] proposent et analysent un schéma AP
pour le système de Jin et Xin (2.1). Les auteurs y adaptent les arguments de [152] au