Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
Annexe B
Compléments sur le système
continu : preuve de la convergence
vers l’équilibre local
Dans cette annexe, nous établissons rigoureusement la convergence vers l’équilibre local
au niveau continu pour le problème étudié au Chapitre 4, autrement dit la limite
P ε −→
ε→0 P 0
du diagramme AP. Précisément nous montrons le théorème 1.1 énoncé au Chapitre précédent.
Il s’agit ainsi d’adapter à notre cas (terme de relaxation non linéaire) les arguments
de R. Natalini [152] pour la relaxation semi-linéaire de Jin et Xin. La preuve est composée
des mêmes étapes que pour le problème discret : nous obtenons d’abord des estimations
L ∞ et BV uniformes en ε, avant de passer à la limite.
B.1 Introduction
B.1.1 Rappel des notations et hypothèses
Rappelons le système hyperbolique que nous étudions :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
complété par les conditions initiales
∂tu ε +∂xv ε = 0,
∂tv ε +a∂xu ε = − 1
ε R(uε ,v ε ),
⎧
⎨
⎩
u ε (0,x) = u ε 0 (x),
v ε (0,x) = v ε 0 (x).
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(B.1.1)
(B.1.2)