Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
1 Partie I : modélisation de fluides géophysiques à surface libre 5
et le rapport d’aspect
ε = H0
λ0
Ainsi, en étudiant différentes asymptotiques de ces nombres (3) , nous pouvons dériver une
multitude de modèles de complexité réduite par rapport aux équations de Navier-Stokes.
Pour arriver au modèle de la Partie I, nous choisissons un régime d’écoulement à Re
intermédiaire, et nous intéressons plutôt à l’asymptotique
.
ε ≪ 1, (1.7)
appelée hypothèse shallow water (eau peu profonde). Cette hypothèse nous conduira à
deux systèmes aujourd’hui largement validés mathématiquement et expérimentalement :
les équations primitives, très souvent utilisées pour décrire l’atmosphère ou les océans, et
les équations de Saint-Venant, particulièrement bien adaptées à la simulation de ruptures
de barrage (en hydraulique) et à l’océanographie côtière. Notre nouveau modèle se situera
entre les deux.
Approximation hydrostatique
Cette simplification classique des équations de Navier-Stokes, aussi appelée modèle des
équations primitives, est historiquement due à des observations physiques. En effet, dans
son Traité de l’équilibre des liqueurs (paru à titre posthume en1663), Blaise Pascal énonçait
une loi de pression hydrostatique pour les liquides : la pression du fluide décroît linéairement
avec l’altitude. Cette hypothèse, aujourd’hui validée par les ingénieurs et les mathématiciens,
se justifie grâce à une observation du rapport d’aspect ε : il satisfait l’hypothèse
shallow water (1.7) (4) . Cette condition, avec l’incompressibilité, conduit à négliger dans
les équations les termes d’ordres supérieurs à 1 en ε. En particulier, dans la conservation de
la quantité de mouvement verticale, tous les termes sont négligés, le gradient de pression
et la gravité. On obtient ainsi, après retour aux variables avec dimensions, l’approximation
hydrostatique, aussi appelée système des équations primitives : pour t > 0 et (x,z) ∈ Ωt,
⎧
divxu+∂zw = 0,
⎪⎨
∂tu+divx(u⊗u)+∂z(wu)+∇xp = −f u ⊥ +µ∆u, (1.8)
⎪⎩
∂zp = −g,
complété par des conditions aux bords. A la surface libre, l’advection de la surface libre et
la continuité du tenseur des contraintes se récrivent :
⎧
⎨ ∂tη +us ·∇xη = ws,
(1.9)
⎩
= ∇xus ·∇xη,
∂zus
3 Il en existe d’autres [159].
4 Pour les fluides géophysiques, il est naturel de supposer les échelles verticales petites par rapport aux
échelles horizontales : par exemple, la profondeur typique d’un océan est de quelques km, tandis qu’il peut
s’étendre sur plusieurs milliers de km.