Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
2 Partie II : analyse d’un schéma préservant l’asymptotique 21
soit consistante avec la limite hydrodynamique continue (P 0 ) (connue!) lorsque ε → 0.
L’ambition des mathématiciens dans ce contexte est donc de construire un schéma pour le
modèle cinétique possédant deux propriétés :
• la stabilité par rapport au paramètre ε,
• la consistance avec le problème de l’équilibre local à la limite ε → 0.
Cependant, pour réaliser ces objectifs, nous sommes soumis à des contraintes purement
numériques dont nous devrons tenir compte dans la suite :
• lorsque ε tend vers 0, le terme source devient raide, ce qui motive un traitement
implicite en temps pour s’affranchir de la contrainte ∆t = O(ε),
• mais le terme source est (toujours) non linéaire et non local, ce qui nécessite une
attention particulière lors de sa discrétisation pour éviter un coût de calcul prohibitif
de la méthode implicite.
Afin de répondre à ces problématiques, S. Jin, L. Pareschi et G. Toscani [124, 119] définissent
en 1998 la notion de schémas préservant l’asymptotique (ou "Asymptotic Preserving",
abrégé dans la suite par AP) : c’est la construction d’un tel schéma qui nous
intéresse ici.
La notion de schéma « préservant l’asymptotique ».
Nous utilisons la définition suivante [92, 119] :
Définition 8. Un schéma numérique P ε h pour (Pε ) est dit AP si
1. il fournit une discrétisation stable du problème (Pε ) pour toute valeur de ε > 0, et
lorsque ε tend vers 0, à h fixé, il conduit à un schéma P0 h consistant avec le problème
limite (équilibre local) P0 ;
2. les termes implicites de collisions peuvent être implémentés explicitement.
Schématiquement, il s’agit de faire commuter le diagramme suivant (sans oublier les contraintes
numériques) :
ε→0
P0 h
h
↓
0
P ε h
Pε ε→0
h
↓
0
P0 Les schémas AP sont aujourd’hui largement employés pour la discrétisation des équations
cinétiques, dans toute sorte d’asymptotique (6) . Pour des problèmes de limite diffusive,
6 Quel que soit l’adimensionnement effectué et le régime asymptotique étudié (nombre de Mach, libre
parcours moyen), la philosophie « préservant l’asymptotique » reste la même.