Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
3 Partie III : un modèle d’écoulement sanguin 35
L’idée est de se diriger vers un modèle d’écoulement plus réaliste, à savoir :
• une partie permanente établie : profil de Poiseuille,
• plus une perturbation périodique en temps due au pouls : profil de Wommersley.
Précisément, nous considérons la géométrie plus simple de [40], illustrée à la Figure 1.7.
Le problème de départ s’énonce comme suit.
Trouver uε tel que : ⎧⎪
∂tuε −∆uε +∇pε = 0 dans Ωε
div uε = 0 dans Ωε
⎨ uε = 0 sur Γ1 ∪Γε
(3.2)
⎪⎩
pε = pin(t) sur Γin
pε = pout = 0 sur Γout
uε est x1-periodique
On suppose que la pression est périodique en temps et ne dépend que de x1 en espace :
on peut se restreindre à la résolution d’un problème scalaire sur la vitesse horizontale uε.
Avant de suivre les étapes classiques pour l’obtention de lois de paroi (présentées brièvement
à la section précédente), le point de départ est un passage en série de Fourier en temps,
possible grâce aux hypothèses de périodicités faites. Nous sommes ainsi ramenés à résoudre
le problème suivant, pour tout mode k ∈ Z ∗ : trouver ûǫ,k tel que
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(ik −∆)ûǫ,k = Ĉk dans Ωε,
ûǫ,k = 0 sur Γε ∪Γ1,
ûǫ,k x1 − périodique sur Γin ∪Γout.
(3.3)
où Ĉk est le k-ième coefficient de Fourier de la pression entrante. Les étapes suivantes, à
savoir ansatz sur le développement de la solution, approximation d’ordre 0, û0,k, introduction
de correcteurs, approximation d’ordre 1, Ûǫ,k (contenant la variable lente et la variable
rapide) dans le domaine rugueux, puis sa moyennisation par rapport à la variable rapide
uε,k, et enfin la solution ˆ Vε,k de la loi de paroi implicite (de type Navier) dans le domaine
lisse sont plus ou moins conservées. Il est toutefois intéressant de souligner deux faits :
• les modes de Fourier n’intéragissent pas avec la fréquence d’oscillation de la rugosité
(heureusement!);
• et dans ce cadre de modèle jouet, on obtient toutes les estimations, à chaque étape du
processus d’approximation, de manière directe, sans invoquer de résultats théoriques