Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
1 Partie I : modélisation de fluides géophysiques à surface libre 17
faces zi+1/2 et viennent des termes visqueux verticaux. Ils sont donnés par :
DU z i+1/2 =
⎧
κu1/µ
⎪⎨
si i = 0,
2(ui+1 −ui)/(hi +hi+1) si 1 i N −1,
(1.22)
⎪⎩
0 si i = N .
Ce système est alors une approximation en O h 2
de (1.8), où h désigne la hauteur des
couches internes fixée préalablement. Précisément, nous montrons la proposition suivante.
Proposition 4 (Chapitre 2, p. ??).
Supposons que les variations de la bathymétrie vérifient :
∇xzb = O h . (1.23)
Alors le modèle multicouche (1.19), où hi, ui+1/2 et wi+1/2 sont donnés respectivement par
(1.17), (1.21) et (1.20), est une approximation formelle des équations primitives (1.8) en
O h 2
.
Dans le Chapitre 2, nous comparons brièvement ce modèle avec ceux de [12, 15], en soulignant
la différence entre les termes visqueux : nous n’avons pas besoin ici d’hypothèse
particulière sur les régimes de friction et viscosité pour les équations primitives, et nos
termes de viscosité s’obtiennent formellement naturellement.
Nous établissons également un théorème d’existence de solution forte locale pour la version
1D de (1.19) :
⎧
N
⎪⎨
∂tH +∂x
i=1
∂t(hN uN)+∂x
hiui
hnu 2 N +g h2
N
2
= 0,
= µ
∂x(hN ∂xuN)+DU z N+1/2 −DUz
N−1/2
−ghN ∂xzb +w N−1/2u N−1/2 −w N+1/2u N+1/2,
∂t(hiui)+∂x hiu 2
i +ghi∂xhN = µ hi∂xxui +DU z i+1/2 −DUz
i−1/2 −ghi∂xzb
⎪⎩
+wi−1/2ui−1/2 −wi+1/2ui+1/2, 1 i N −1.
(1.24)
où les termes de Coriolis n’apparaissent plus car ils n’ont pas de sens en 1D. Introduisons
quelques notations avant d’énoncer le théorème obtenu. Pour toute fonction f, on note f
(resp. fk) sa norme L2 (resp. Hk ). Si f = (f1,...,fn) est multidimensionnelle, on définit
sa norme Hk coordonnée par coordonnée :
n
fk := fik.
i=1