Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
Table des matières
Avant-propos xi
1 Introduction générale et présentation des travaux 1
1 Partie I : modélisation de fluides géophysiques à surface libre . . . . . . . . 1
1.1 Une hiérarchie de modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Travaux effectués : un autre modèle multicouche de Saint-Venant . . 15
2 Partie II : analyse d’un schéma préservant l’asymptotique . . . . . . . . . . 19
2.1 Motivation et état de l’art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Travaux effectués : résultats de convergences pour un modèle simple 25
3 Partie III : un modèle d’écoulement sanguin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1 Motivation médicale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Modélisation mathématique : état de l’art . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Présentation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Conclusions, perspectives et travaux en cours . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1 Sur l’analyse du schéma AP pour le système de Broadwell . . . . . . 37
4.2 Autour des modèles de fluides géophysiques à surface libre . . . . . . 40
I Modélisation de fluides géophysiques à surface libre 43
2 A dynamic multilayer model : derivation and existence result 45
2.1 Introduction and Main Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Derivation of the model and comparison with other multilayer models . . . 51
2.2.1 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.2 Comparison with other multilayer models . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3 Well-posedness of the multilayer model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.1 Estimates on the source terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.2 Study of the linearized problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.3 Iterative scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Finite Volume discretization and numerical simulations 67
3.1 Numerical scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2 Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.1 Comparison with classical Shallow Water model, flat bottom . . . . 72
vii