Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
4 Conclusions, perspectives et travaux en cours 37
4.1 Sur l’analyse du schéma AP pour le système de Broadwell
Comme dit précédemment, le travail de la partie II trouve sa motivation initiale dans
le domaine de la théorie cinétique des gaz. Nous tentons donc actuellement de conduire
une analyse de notre schéma AP pour des modèles plus physiques que le modèle jouet à
deux vitesses, tels que le modèle de Broadwell ou plus généralement des modèles cinétiques
possédant un nombre fini quelconque de vitesses. Malheureusement, il apparaît très vite
que les techniques employées pour l’analyse du schéma dans [94] (estimations uniformes
dans L ∞ et BV ) ne peuvent pas s’étendre au système de Broadwell. En effet, toutes les
estimations a priori reposent fortement sur un principe de comparaison pour les systèmes
quasi-linéaires possédant une propriété de monotonie. Le système de Broadwell ne bénéficie
pas de cette propriété! Il convient donc d’adopter une nouvelle approche pour traiter
ce problème, en l’abordant sous un angle réellement cinétique. Nous avons à l’esprit les
résultats de convergence vers l’équilibre hydrodynamique de l’équation de Boltzmann via
des méthodes de dissipation d’entropie (voir par exemple l’ouvrage de C. Villani [177] et
ses références). Afin de donner une idée générale de la méthodologie et des techniques
que nous souhaitons appliquer à notre schéma numérique avec F. Filbet, faisons quelques
commentaires sur le problème de Broadwell et citons quelques références bibliographiques.
Pour l’essentiel, nous nous sommes basés sur l’ouvrage de C. Villani [177] pour les considérations
générales, puis sur le cours de H. Cabannes, R. Gatignol et L.-S. Luo sur les
modèles cinétiques à vitesses discrètes [52] et l’article de F. Berthelin, A.E. Tzavaras et A.
Vasseur [27], ainsi que les références de ces travaux.
Deux formulations du système. Tout d’abord, la formulation « physique » du problème
de Broadwell [48] est une version simplifiée de l’équation de Boltzmann. Précisément,
le système rend compte de l’évolution au cours du temps de fonctions de distribution de
particules fi d’un gaz soumis à deux mécanismes : le transport des particules, à leurs vitesses
vi, et leurs éventuelles collisions modélisées par un opérateur de collision quadratique
Qi. Dans le cas de Broadwell, ou dans tout modèle dit « cinétique à vitesses discrètes »
la simplification vient du fait que l’espace des vitesses des particules est discret (et borné
dans notre cas), ce qui simplifie également grandement l’opérateur de collision. Dans une
version 1D, nous partons ici du modèle à 4 vitesses, +1, 0 et −1 (deux types de particules
se transportant à la vitesse nulle) :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂tf+ +∂xf+ = 1
ε Q+,
∂tf0
où l’opérateur de collision est donné par :
= 1
ε Q0,
∂tf− −∂xf− = 1
ε Q−,
⎧
⎨
⎩
Q+ = f 2 0 −f+f−,
Q0 = −Q+,
Q− = Q+.
(4.1)
La formulation « fluide » s’interprète alors comme le système composé des deux lois de
conservation associées aux moments d’ordres 0 et 1 en vitesse de la fonction de distribution,