Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
1 Partie I : modélisation de fluides géophysiques à surface libre 11
Plus précisément, nous utiliserons essentiellement des flux de Lax-Friedrichs. Ce flux s’écrit,
pour l’équation (1.15) :
F V n n 1
j ,Vj+1 =
2
F V n
j
n ∆x
+F Vj+1 −
∆t
V n
j+1 −V n
j
Outre la consistance, le schéma doit également satisfaire des propriétés de stabilité. Un
critère primordial est la condition CFL, condition nécessaire (mais pas suffisante!) de
stabilité. Elle s’écrit pour (1.15) et dans le cas d’un schéma explicite à trois points :
λ := a∞
∆t
∆x
1,
où a∞ = max
v∈R |F′ (v)|. Pour le flux de Lax-Friedrichs, cette condition satisfaite entraîne que
pour tout temps n, la valeur V n+1
j peut s’écrire comme une combinaison convexe de V n
j−1 et
V n
j+1 , condition cruciale pour obtenir la stabilité du schéma. Cependant, ce flux provoquant
de la diffusion numérique, nous utiliserons des limiteurs de pentes (voir le Chapitre 3).
Remarque 2. Ces deux conditions de consistance et de stabilité ne suffisent pas en général
pour démontrer la convergence d’un schéma volumes finis, mais nous n’étudierons pas la
convergence mathématique des schémas dans la Partie I. Nous verrons cependant à la Partie
II une autre propriété du flux numérique qui sera utile dans la preuve de convergence,
celle d’être TVD (pour Total Variation Diminishing) (voir la Section 2 de l’introduction
générale).
Evidemment, toutes les équations ne ressemblent pas à (1.15) et la question du choix du
flux n’est pas la seule difficulté. Par exemple, dans le cas de Saint-Venant, il y a des termes
sources et des termes non conservatifs. Ainsi, en général, dans l’élaboration d’un schéma
volumes finis, nous devons répondre aux interrogations suivantes :
• quel choix pour le flux numérique ? Est-il consistant?
• que faire lorsqu’il y a des produits non conservatifs ?
• comment discrétiser les termes sources ?
Pour répondre à ces questions, nous nous basons sur la connaissance que l’on a du problème
continu, c’est-à-dire ses propriétés de stabilité. Dans le cas de Saint-Venant, les enjeux
discrets majeurs sont :
• la conservation de la positivité de la hauteur,
.
• la préservation des états stationnaires, notamment du « lac au repos » (on parle alors
de schéma well-balanced),
• une inégalité d’entropie discrète.