Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
84 Compléments sur le modèle multicouche
Pour les approximations des dérivées verticales, nous imposons :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
2µ u1 −u0
h1 +h0
2µ uN+1 −uN
hN +hN+1
= κu1,
= 0.
Dans les deux sous-sections suivantes, nous recherchons des entropies pour notre système,
qui pourront s’avérer utiles dans la recherche de solutions faibles. Cependant tous les calculs
ici sont formels, il s’agit simplement de tenter d’adapter de manière heuristique les travaux
effectués dans [43, 144].
A.1.1 Une estimation d’énergie naturelle
Nous obtenons d’abord une inégalité d’énergie naturelle pour notre système, qui est en
adéquation avec l’estimation obtenue pour les modèles multicouches existants [12, 15].
En considérant des conditions aux limites périodiques (i.e. en écrivant le système pour
(t,x) ∈ R + ×T), les solutions régulières satisfont l’estimation d’énergie suivante.
∂t
T
E dx+2µ
T
N−1
i=1
où l’énergie E est définie par :
(ui+1 −ui) 2
hi +hi+1
E = 1
2
+
N
i=1
gH 2 +
hi (∂xui) 2
N
i=1
hiu 2 i
dx = −κ
.
T
u 2 1 dx, (A.1.3)
Avant de montrer cette inégalité, remarquons que notre fonction énergie est la même que
celle introduite dans [12, 15] : c’est la somme des énergies de chaque couche, qui correspondent
chacune à l’énergie d’un système classique de Saint-Venant, à savoir :
E =
N
i=1
Ei avec Ei = 1
2 hiu 2 i +ghi∂xhi.
Obtention de l’estimation d’énergie. Les calculs sont classiques : il s’agit de multiplier
les équations (A.1.1) par ui, de les intégrer sur le tore et de les sommer. Nous
commençons par le membre de gauche de (A.1.1), et plus précisément le terme
Ai := ∂t(hiui)+∂x hiu 2 i .