Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de ...

tel-00656013, version 1 - 3 Jan 2012
4 Introduction générale et présentation des travaux
Le terme de friction considéré est simplement linéaire; nous ne prenons pas en compte la
friction turbulente, qui ajouterait un terme quadratique à ces équations (voir par exemple
[159, 143]).
Même dans cette formulation assez simple du système de Navier-Stokes (1.4), l’étude mathématique
reste complexe et les simulations numériques coûteuses, notamment en raison
de la non-linéarité des équations et de la dépendance en temps du domaine spatial Ωt.
C’est pourquoi ingénieurs et mathématiciens ont établi toute une hiérarchie de systèmes
simplifiés pour modéliser les fluides géophysiques, avec deux objectifs principaux :
• comprendre et décrire plus précisément les multiples dynamiques,
• et être capable de fournir des prévisions fiables de ces dynamiques.
La dérivation de modèles plus simples s’appuie sur l’analyse dimensionnelle, c’est-à-dire
une étude des échelles typiques du problème. Nous introduisons donc des quantités caractéristiques
:
• la profondeur caractéristique de l’océan H0 et une longueur d’onde horizontale typique
λ0 (voir la Figure 1.1),
• les variations d’amplitudes typiques de la surface libre as et de la bathymétrie ab
(voir la Figure 1.1),
• des vitesses caractéristiques horizontales et verticales U et W.
z
λ0
Figure 1.1 – Echelles spatiales caractéristiques.
En procédant à un adimensionnement des équations (voir par exemple [159] pour la description
précise de cette analyse d’échelles), il apparaît en particulier deux nombres sans
dimension, le nombre de Reynolds
Re =
U λ0
µ ,
H0
ab
as
x